La técnica de factorización es esencial para la resolución de ecuaciones polinómicas.
Es la operación inversa a la expansión.
Aunque no es la única técnica para resolver ecuaciones polinómicas, es una de las más importantes.
La factorización es la división de una ecuación polinómica en factores indivisibles que, cuando se multiplican entre ellos, dan la misma expresión original.
Por ejemplo, la factorización del polinomiox2 + 3x + 2da los factores x + 1 y x + 2. Multiplicando los factores entre sí (desarrollando los paréntesis) se obtiene la ecuación original, es decir (x + 1)( x + 2) = x × x + 1 × x + x × 2 + 1 × 2= x2 + x + 2x + 2= x2 + 3x + 2
No todas las ecuaciones polinómicas pueden descomponerse en factores, y hallar los factores de aquéllas que pueden descomponerse no siempre es sencillo.
Una ecuación que no puede factorizarse se denomina ecuación irreducible, mientras que una que sí se pueda factorizar se denomina ecuación reducible.
Factorización de una ecuación cuadrática
Las ecuaciones en que es más fácil hallar los factores son las ecuaciones cuadráticas. La forma general de una ecuación cuadrática esax2 + bx + c = 0
Si es reducible, este tipo de ecuación podrá factorizarse en dos términos.
Cada uno de ellos será de la forma (dx ± e)
El primer paso a tomar cuando se factorizan ecuaciones cuadráticas es determinar los signos en los paréntesis. Si el último signo del término cuadrático (el signo delante de la c) es positivo, los signos en ambos paréntesis serán iguales, es decir, o bien ( + )( + )
o bien ( – )( – )
Si el signo del término intermedio (el signo delante de b) es positivo, ambos signos serán positivos.
Si el signo del término intermedio es negativo, ambos serán negativos. Por otra parte, si el signo del último término de la ecuación cuadrática es negativo, los signos en los paréntesis serán distintos, es decir, o bien ( + )( – )
o bien ( – )( + )
Una vez se han determinado los signos en cada uno de los paréntesis, se deben hallar los valores numéricos. Recuérdese que la forma general de una ecuación cuadrática esax2 + bx + c = 0
Si los dos factores son (dx ± e)( fx ± g) = 0
entoncesd × f = ae × g = ce × f + d × g = b
Por ejemplo, considérese la ecuación cuadrática12x2 + 13x + 3 = 0
Los signos de los términos intermedio y último son positivos, por lo que los signos en ambos paréntesis serán positivos: ( + )( + )
Los últimos términos en cada paréntesis deben dar un producto igual a 3. Los únicos divisores de 3 son 1 y 3, por lo que 12x2 + 13x + 3 = (? + 1)(? + 3)
Los primeros términos en cada paréntesis deben dar como resultado 12x2, para lo cual existen varias posibilidades, entre las que se encuentran 1x y 12x, 2x y 6x, y 3x y 4x. Cualquiera de estos pares da como resultado de su producto 12x2, pero sólo uno de estos pares dará como resultado el coeficiente del término intermedio, 13x, cuando se multipliquen los paréntesis.
Hallar cuál de estos pares de factores encaja en los paréntesis y en qué orden lo hacen es un asunto de prueba y error. Supongamos que probamos 1x en el primer paréntesis y 12x en el segundo, y los multiplicamos como sigue: (1x + 1)(12x + 3) = 12x2 + 12x + 3x + 3= 12x2 + 15x + 3
Claramente, el coeficiente del término intermedio es incorrecto si se utiliza este par de factores en este orden. De hecho, el par de factores correcto es 3x en el primer paréntesis y 4x en el segundo.
Al multiplicarlos se obtiene (3x + 1)(4x + 3) = 12x2 + 4x + 9x + 3= 12x2 + 13x + 3
La factorización es un método importante para resolver ecuaciones cuadráticas reducibles.
Ecuaciones cúbicas
La factorización también se puede utilizar para resolver ecuaciones cúbicas o ecuaciones de grado superior, aunque éstas puedan resultar difíciles de factorizar.
Por ejemplo, podemos factorizar la siguiente ecuación cúbica:x3 + 2x2 – x – 2 = 0
Se puede sacar un factor (x + 1) de la fórmula, quedando x3 + 2x2 – x – 2 = (x + 1)( x2 + x – 2)
El término cuadrático resultante se puede factorizar fácilmente para darx3 + 2x2 – x – 2 = (x + 1)( x – 1)( x + 2)
Por lo que la primera ecuación se puede reescribir como (x + 1)( x – 1)( x + 2) = 0
