{"id":102040,"date":"2018-03-11T10:24:01","date_gmt":"2018-03-11T10:24:01","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/positividad-en-la-teoria-de-operadores-superca%c2%adclicos\/"},"modified":"2018-03-11T10:24:01","modified_gmt":"2018-03-11T10:24:01","slug":"positividad-en-la-teoria-de-operadores-superca%c2%adclicos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/cadiz\/positividad-en-la-teoria-de-operadores-superca%c2%adclicos\/","title":{"rendered":"Positividad en la teor\u00eda de operadores superc\u00edclicos"},"content":{"rendered":"

Tesis doctoral de Antonio Piqueras Lerena <\/strong><\/h2>\n

Este trabajo, se enmarca dentro del estudio del fen\u00f3meno conocido en an\u00e1lisis como universalidad, el cual ha conocido un importante auge en las dos \u00faltimas d\u00e9cadas, tanto por el n\u00famero de resultados avanzados obtenidos, como por el n\u00famero de autores implicados. El fen\u00f3meno de universalidad que hist\u00f3ricamente se puede afirmar que es casi centenario, est\u00e1 motivado por un caso de aproximaci\u00f3n. Se trata de aproximar todos los elementos de un conjunto, a trav\u00e9s de cierto subconjunto generado a partir de un apropiado elemento, que recibe el nombre de elemento universal. De una forma m\u00e1s precisa: si x,y son espacios topol\u00f3gicos, y t_i de x en y es una familia de aplicaciones, decimos que un elemento x en x es universal en y , para la familia {t_i}, si cada elemento y de y se puede aproximar por alg\u00fan t_ix, o dicho de otra forma si el conjunto {t_ix : i en i} es denso en y . a lo largo de este trabajo estudiamos distintos casos particulares de universalidad. De una manera global consideraremos espacios topol\u00f3- gicos lineales x, como los conjuntos que son objeto de aproximaci\u00f3n. Y como familias de aplicaciones consideraremos aquellas generadas por un operador via iteraci\u00f3n, es decir t_n = t^n, donde t de x en x es un operador acotado. Se dir\u00e1 que un elemento x de x es universal si el conjunto {t^nx : n en n} es denso en x. En este caso particular el elemento universal x recibe el nombre de hiperc\u00edclico para el operador t, y \u00e9ste recibe el nombre de operador hiperc\u00edclico. Por otra parte el conjunto {t^nx : n en n} = orb(t,x) se denomina \u00f3rbita de x bajo el operador t. De este modo podemos decir que x es hiperc\u00edclico para el operador t, si la \u00f3rbita orb(t,x) es densa en x. el primer ejemplo de operador hiperc\u00edclico se descubre en 1969 por s. Rolewicz ([64]). Desde entonces la actividad cient\u00edfica en relaci\u00f3n con este fen\u00f3meno ha sido muy intensa. Hasta el propio rolewicz ha mostrado su sorpresa ante este desarrollo, nunca pens\u00f3 que su trabajo de 1969 fuese a ser pionero de lo que constituye actualmente toda una teor\u00eda. Tanto es as\u00ed que ha llevado a la american mathematical society introducir 47a16, como c\u00f3digo espec\u00edfico para clasificar los art\u00edculos que tratan sobre operadores hiperc\u00edclicos. Por otra parte, se han publicado algunos libros que desarrollan los aspectos generales de la teor\u00eda. Por ejemplo, el libro reciente de f. Bayart y e. Matheron [4], en el que incluso se citan algunos resultados que se muestran en esta memoria. son conocidas nociones m\u00e1s d\u00e9biles que la hiperciclicidad, y que fueron descubiertas incluso antes. As\u00ed pues, si s\u00f3lo pedimos que el subes- pacio lineal generado por las combinaciones lineales finitas, de los elementos de la \u00f3rbita orb(t,x) sea densa en x, entonces el vector x decimos que es un vector c\u00edclico para el operador t , donde t adquiere desde entonces el nombre de c\u00edclico. hay que destacar que el fen\u00f3meno de universalidad, adquiere m\u00e1s importancia por su relaci\u00f3n con el problema del subespacio invariante. Este problema consiste en determinar si dado un operador actuando sobre un espacio, posee alg\u00fan subespacio invariante (o al menos un subconjunto) no trivial. De esta manera, si x es vector no c\u00edclico para cierto operador t, existe un subespacio cerrado que contiene a x, y que es invariante para t. De igual forma si x es un elemento que no es hiperc\u00edclico para cierto operador t , el cierre topol\u00f3gico de la \u00f3rbita orb(t, x) supone un conjunto cerrado e invariante para t . dada la importancia del problema del subespacio invariante, se ha estudiado a fondo el margen que existe entre \u00e1mbos conceptos de hiperciclicidad y ciclicidad y se ha descubierto una gran estructura conceptual. De hecho, ya en los a\u00f1os sesenta se estudia el concepto de superciclicidad, que est\u00e1 a medio camino entre los conceptos ante- riores. Un vector x de x se dice que es superc\u00edclico para un operador t de x en x, si la \u00f3rbita proyectiva {\u00c2\u00bftxn : \u00c2\u00bf en c, n en n} es densa en el espacio x, de igual forma t recibe el nombre de operador super- c\u00edclico. M\u00e1s recientemente, si la \u00f3rbita, o la \u00f3rbita proyectiva de un vector generan un subconjunto denso en la topolog\u00eda d\u00e9bil, se habla entonces de hiperciclicidad o superciclicidad d\u00e9bil. este trabajo est\u00e1 dedicado al estudio de la superciclicidad, funda- mentalmente desde dos puntos de vista. De una parte nos centramos, dentro del conjunto de operadores superc\u00edclicos, en aquellos que de- nominamos superc\u00edclicos positivos, estos son aquellos para los que es suficiente la \u00f3rbita proyectiva positiva de alg\u00fan vector (es decir {rtnx : r de r_+, n de n}) para obtener la densidad en el espacio. Es- tos operadores aparecen caracterizados por primera vez en un art\u00edculo de f. Le\u00f3n y v. M\u00ed\u00bcller. en primera instancia buscamos extender los resultados de f. Le\u00f3n y v. M\u00ed\u00bcller para superciclicidad d\u00e9bil. Finalmente llegamos a un re- sultado mucho m\u00e1s general, en el que estudiamos qu\u00e9 condiciones garantizan la superciclicidad positiva, en espacios vectoriales topol\u00f3- gicos. De este estudio se derivan consecuencias para operadores en espacios de banach con la topolog\u00eda d\u00e9bil. probar que un operador no es superc\u00edclico resulta un problema de enorme dificultad, mucho m\u00e1s sin ninguna duda que probar que es superc\u00edclico. El resultado de superciclicidad positiva permite probar con cierta facilidad la no superciclicidad de un operador. En este sentido va el segundo punto de vista de esta memoria. Se trata de estudiar las diversas propiedades de las \u00f3rbitas (entre las que se in- cluye el estudio de la superciclicidad y la superciclicidad d\u00e9bil) para operadores cl\u00e1sicos (operador de ces\u00ed\u00a0ro, operador de volterra, etc) definidos en espacios cl\u00e1sicos de funciones. ahora pasamos a indicar la estructura de este trabajo. Est\u00e1 dividido en seis cap\u00edtulos. Se introduce un breve cap\u00edtulo de preliminares. En dicho primer cap\u00edtulo, introducimos la notaci\u00f3n y algunas cuestiones que ser\u00e1n utilizadas m\u00e1s adelante. en el cap\u00edtulo 2, estudiamos ciertas cuestiones relacionadas con el problema del subespacio invariante (que como sabemos permanece abierto en el contexto de los espacios de hilbert, y para operadores positivos en ret\u00edculos de banach). Concretamente, los resultados de este cap\u00edtulo, est\u00e1n relacionados con un resultado de chevreau, brown y pearcy, el que asegura que si t es una contracci\u00f3n en un espacio de hilbert cuyo espectro contiene a la circunferencia unidad, entonces existe un subespacio invariante (no trivial) para t. si se rabaja la condici\u00f3n espectral, concretamente si el espectro corta a la circunferencia unidad entonces v. M\u00ed\u00bcller [56] prueba que t posee un vector (no nulo) no superc\u00edclico. Para obtener dicho resultado es necesario un resultado sobre superciclicidad positiva en espacios de banach de f. Le\u00f3n saavedra y v. M\u00ed\u00bcller (v\u00e9ase [44]) . El objetivo de este cap\u00edtulo es probar que una contracci\u00f3n con radio espectral uno, posee un vector no superc\u00edclico d\u00e9bil (no trivial), esto es, un paso m\u00e1s hasta obtener un vector no c\u00edclico. Para ello, es necesaria una extensi\u00f3n del resultado de f. Le\u00f3n y v. M\u00ed\u00bcller para operadores en espacios de banach con la topolog\u00eda d\u00e9bil. Finalmente, como hemos anunciado antes se obtiene un resultado sobre superciclicidad positiva general, en espacios vectoriales topol\u00f3gicos. en los cap\u00edtulos 3 y 4, estudiamos las \u00f3rbitas de dos operadores cl\u00e1si- cos de tipo integral, el operador de volterra y el operador de ces\u00ed\u00a0ro. Es sorprendente como a pesar de ser dos operadores cl\u00e1sicos, amplia- mente estudiados, sin embargo permanecen todav\u00eda cuestiones abier- tas. Entre los resultados que mostraremos, veremos en el cap\u00edtulo 4 que el operador de volterra v , no es superc\u00edclico d\u00e9bil en los espa- cios lp[0,1], utilizamos para ello los resultados del cap\u00edtulo 2. En el cap\u00edtulo 3, destacamos el resultado que prueba la hiperciclicidad del operador de ces\u00ed\u00a0ro en lp[0, 1], (1 < p < \u00c2\u00bf). Los resultados del ca- p\u00edtulo 3 son en cierta medida sorprendentes porque hasta el momento ning\u00fan resultado positivo sobre hiperciclicidad se hab\u00eda obtenido pa- ra operadores integrales. El operador de ces\u00ed\u00a0ro puede verse como un operador tipo integral. En general los operadores de tipo inte- gral no suelen tener buen comportamiento hiperc\u00edclico, en cambio, los operadores de tipo diferencial suelen tener muy buenas propiedades hiperc\u00edclicas. Adem\u00e1s, dada la uniformidad que imprime el operador de ces\u00ed\u00a0ro, dicho operador es el operador menos esperado para ser hiperc\u00edclico. el punto de partida inicial del cap\u00edtulo 5, fue intentar usar las t\u00e9c- nicas de demostraci\u00f3n del cap\u00edtulo 2, para extender un resultado de s. Ansari, anteriormente extendido por diversos autores. En 1995 s. Ansari ([2]) prueba que si el operador t en b(x), siendo x un espacio de banach, es hiperc\u00edclico entonces el operador t n tambi\u00e9n lo es, m\u00e1s aun ambos operadores tienen los mismos vectores hiperc\u00edclicos. Este reconocido resultado resuelve una cuesti\u00f3n planteada por d. Herrero cuesti\u00f3n que a su vez est\u00e1 motivada por otra cuesti\u00f3n, relacionada con la multihiperciclicidad. El trabajo de ansari tuvo un impacto cient\u00edfico importante. El argumento de su demostraci\u00f3n, basado en la idea de conectividad del conjunto de vectores hiperc\u00edclicos, ha sido ampliamente utilizado por diversos autores. sin embargo, aunque este era el objetivo inicial del trabajo [30], cuan- do el trabajo lleg\u00f3 al revisor (pronto se desvel\u00f3 que era k. G. Erd- mann), \u00e9ste se dio cuenta de que en realidad se estaba dando respuesta a una pregunta planteada por p. S. Bourdon en 1995 (v\u00e9ase [12]). En 1995 p. S. Bourdon prueba que si una aplicaci\u00f3n continua (no nece- sariamente lineal) f sobre un espacio topol\u00f3gico tiene \u00f3rbita densa, pero la aplicaci\u00f3n f2 no tiene \u00f3rbita densa (si eliminamos la linea- lidad el resultado de ansari deja de ser cierto) entonces el conjunto de puntos del espacio con \u00f3rbita densa, se descompone en una par- tici\u00f3n en la cual la din\u00e1mica de la aplicaci\u00f3n f es f\u00e1cil de describir. En dicho trabajo el caso general (es decir, el caso de que la \u00f3rbita de x por f sea densa pero la \u00f3rbita bajo fn no es densa) se plantea como un problema abierto. En este cap\u00edtulo resolvemos el problema de bourdon. Obtenemos adem\u00e1s una demostraci\u00f3n del resultado de s. Ansari completo ([2]), es decir, tras este resultado ya no caben m\u00e1s extensiones. es conocido que si un operador t, sobre un espacio de banach x, verifica el criterio de hiperciclicidad, dicha condici\u00f3n es equivalente a que el operador t suma directa con t, sea hiperc\u00edclico en x suma directa con x. En el cap\u00edtulo 6, nuestro objetivo es estudiar ciertas condiciones equivalentes a la hiperciclicidad del operador t suma directa con t en virtud de la densidad de ciertas sub\u00f3rbitas del operador t y a su vez equivalentes a la noci\u00f3n de superciclicidad positiva para un caso especial en el que el espectro puntual del adjunto no sea vac\u00edo. Los resultados de esta memoria vienen recogidos en [30, 40, 41, 46, 47, 48, 61] hay 5 art\u00edculos publicados y dos de ellos est\u00e1n enviados para su publicaci\u00f3n.\n\n\n\n \n\n\n

Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00abPositividad en la teor\u00eda de operadores superc\u00edclicos<\/strong>\u00ab<\/h3>\n
    \n
  • T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 Positividad en la teor\u00eda de operadores superc\u00edclicos <\/li>\n
  • Autor:<\/strong>\u00a0 Antonio Piqueras Lerena <\/li>\n
  • Universidad:<\/strong>\u00a0 C\u00e1diz<\/li>\n
  • Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 25\/06\/2010<\/li>\n<\/ul>\n

     <\/p>\n

    Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n
      \n
    • Director de la tesis<\/strong>\n
        \n
      • Fernando Le\u00f3n Saavedra<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
      • Tribunal<\/strong>\n
          \n
        • Presidente del tribunal: Juan Luis Romero romero <\/li>\n
        • Manuel Cepedello boiso (vocal)<\/li>\n
        • Miguel Lacruz (vocal)<\/li>\n
        • Juan benigno Seoane sep\u00falveda (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n

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