{"id":103295,"date":"2018-03-11T10:25:46","date_gmt":"2018-03-11T10:25:46","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/problemas-de-frontera-para-ecuaciones-dinamicas\/"},"modified":"2018-03-11T10:25:46","modified_gmt":"2018-03-11T10:25:46","slug":"problemas-de-frontera-para-ecuaciones-dinamicas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/santiago-de-compostela\/problemas-de-frontera-para-ecuaciones-dinamicas\/","title":{"rendered":"Problemas de frontera para ecuaciones din\u00e1micas"},"content":{"rendered":"<h2>Tesis doctoral de <strong> Dolores Rodr\u00edguez  Vivero <\/strong><\/h2>\n<p>Numerosos problemas que han surgido en diversas ciencias como la f\u00edsica, biolog\u00eda o econom\u00eda han encontrado en las ecuaciones diferenciales y en las ecuaciones en diferencias modelos adecuados para su estudio y resoluci\u00f3n. Estas ecuaciones han demostrado su eficacia a la hora de expresar matem\u00e1ticamente procesos evolutivos continuos o discretos, respectivamente. Un an\u00e1lisis m\u00e1s profundo de algunos fen\u00f3menos muestra que en muchos casos estas ecuaciones no son suficientes para encontrar un modelo que los represente y los analice de una forma adecuada. Es as\u00ed como las ecuaciones din\u00e1micas surgen de la necesidad de encontrar modelos que se adapten  mejor a la realidad. Con ellas se estudia la evoluci\u00f3n de una gran cantidad de procesos definidos en conjuntos cerrados arbitrarios, resultando ser un adecuado modelo para diferentes problemas econ\u00f3micos y poblacionales. Pensar, por ejemplo, en la evoluci\u00f3n de una especie en la que sus individuos viven en un determinado per\u00edodo de tiempo, por ejemplo en una estaci\u00f3n, y justamente antes de su muerte ponen sus huevos y los nuevos individuos nacen al inicio de un nuevo per\u00edodo posterior.   los objetivos de la teor\u00eda de ecuaciones din\u00e1micas en conjuntos cerrados de n\u00fameros reales, cuyo origen se encuentra en la tesis doctoral de stefan hilger defendida en 1988, son estudiar bajo una misma formulaci\u00f3n ecuaciones diferenciales y en diferencias adem\u00e1s de estudiar ecuaciones en un conjunto cerrado y no vac\u00edo arbitrario de n\u00fameros reales con partes discretas y continuas como puede ser una sucesi\u00f3n y su l\u00edmite o un conjunto de cantor, entre otros.   el trabajo llevado a cabo en esta memoria se puede dividir en dos partes claramente diferenciadas, la primera de ellas, referida al an\u00e1lisis en conjuntos cerrados de n\u00fameros reales arbitrarios, donde se recogen y desarrollan las herramientas necesarias para el estudio, en la segunda, de la existencia de soluci\u00f3n, en el sentido cl\u00e1sico, en el sentido de carath\u00e9odory o en el sentido de las distribuciones de ecuaciones din\u00e1micas de primer y segundo orden.   respecto a la primera parte, recogida en el cap\u00edtulo 1 y dedicada al an\u00e1lisis en conjuntos cerrados arbitrarios, nos hemos centrado en la teor\u00eda de la $delta-$medida y $delta-$integraci\u00f3n de lebesgue dado que el grado de desarrollo de \u00e9stas constituye una pieza clave en el estudio de la existencia de soluciones d\u00e9biles de ecuaciones din\u00e1micas. Los primeros resultados que hemos obtenido relacionados con este tema se recogen en la secci\u00f3n 1.3, donde se obtiene una nueva f\u00f3rmula para el c\u00e1lculo de la $delta-$integral de lebesgue como suma de una integral de lebesgue m\u00e1s una serie num\u00e9rica en la que se pone de manifiesto la divisi\u00f3n del c\u00e1lculo en sus partes discreta y real; dicha igualdad ha sido demostrada caracterizando previamente la $delta-$medida en t\u00e9rminos de medidas conocidas. La f\u00f3rmula anterior ha permitido no s\u00f3lo calcular expl\u00edcitamente el valor de las $delta-$primitivas de funciones elementales en conjuntos cerrados arbitrarios, lo cual hasta su conocimiento hab\u00eda sido imposible, sino tambi\u00e9n profundizar en aspectos importantes de la teor\u00eda de la $delta-$integraci\u00f3n como son las diversas caracterizaciones de las funciones absolutamente continuas probadas en la secci\u00f3n 1.4, conocidas cuando el conjunto est\u00e1 formado solamente por puntos densos pero no para un conjunto cerrado arbitrario. Los resultados recogidos en las secciones 1.3 y 1.4 han permitido profundizar en otro de los aspectos fundamentales para la demostraci\u00f3n de existencia de soluciones d\u00e9biles de problemas de frontera como son los espacios de sobolev. A pesar de la gran importancia de estos espacios y de la informaci\u00f3n detallada de que se dispone cuando \u00e9stos est\u00e1n definidos en un dominio del espacio eucl\u00eddeo dotado de la medida de lebesgue, el trabajo que realizamos en la secci\u00f3n 1.5 es el primero en el que se definen y estudian sus propiedades fundamentales cuando \u00e9stos est\u00e1n definidos en un conjunto cerrado y acotado arbitrario dotado de la $delta-$medida de lebesgue; asimismo, hemos demostrado una equi-Valencia entre \u00e9stos y los usuales espacios de sobolev definidos en un intervalo de la recta real. Adem\u00e1s, este trabajo ha permitido probar en la secci\u00f3n 1.6 una desigualdad tipo wirtinger que relaciona la norma en $ l^2_delta$ de la potencia sigma de las funciones absolutamente continuas con $delta-$derivada en $ l^2_delta$ con la norma en $ l^2_delta$ de su  $delta-$derivada, como consecuencia de la cual se deducen de forma inmediata algunas de las conocidas desigualdades tipo wirtinger en los casos real y discreto.   dedicamos los cap\u00edtulos 2 y 3 a la segunda parte de nuestro trabajo, esto es, el estudio de ecuaciones din\u00e1micas.  en el cap\u00edtulo 2 se trata el problema de existencia de soluci\u00f3n en el sentido d\u00e9bil de diversos problemas de ecuaciones din\u00e1micas de primer orden.  en la secci\u00f3n 2.3 se demuestra la existencia de soluciones extremales de un problema con condiciones iniciales de primer orden en el que la funci\u00f3n que define la parte no lineal de la ecuaci\u00f3n es una funci\u00f3n $l_delta^1-$carath\u00e9odory, como consecuencia de dicho resultado, se obtiene el an\u00e1logo permitiendo discontinuidad en la parte no lineal de la ecuaci\u00f3n; el m\u00e9todo empleado es una adaptaci\u00f3n del cl\u00e1sico m\u00e9todo de peano, esto es, la aproximaci\u00f3n de las soluciones extremales mediante subsoluciones y sobresoluciones de dicho problema; como caracter\u00edstica a destacar de este trabajo es que los resultados obtenidos son v\u00e1lidos en el caso discreto tanto para el problema impl\u00edcito como para el expl\u00edcito. La t\u00e9cnica de las sub y sobresoluciones ha sido empleada en diferentes aplicaciones de una gran cantidad de problemas de frontera tanto discretos como continuos. Esta teor\u00eda permite, bajo ciertas condiciones, dar pruebas constructivas de existencia de soluci\u00f3n definiendo sucesiones mon\u00f3tonas que convergen a las soluciones extremales del problema considerado en un sector comprendido entre una subsoluci\u00f3n y una sobresoluci\u00f3n.  el objetivo de la secci\u00f3n 2.4 es el de demostrar la existencia de soluci\u00f3n de un problema de frontera de primer orden con condiciones de frontera no lineales en el que la funci\u00f3n que determina la parte no lineal de la ecuaci\u00f3n es una funci\u00f3n $l_delta^1-$carath\u00e9odory y asumiendo la existencia de un par de sub y sobresoluciones de dicho problema. Las hip\u00f3tesis que verifica la funci\u00f3n que define las condiciones en la frontera permiten que el problema estudiado cubra tanto las condiciones peri\u00f3dicas  como las antiperi\u00f3dicas; adem\u00e1s, la dependencia funcional en la segunda variable posibilita otros tipos de condiciones de frontera no lineales diferentes. Asimismo, se ha demostrado la unicidad de soluci\u00f3n de un problema de frontera que generaliza el antiperi\u00f3dico y se ha desarrollado un m\u00e9todo mon\u00f3tono para aproximarla.  la secci\u00f3n 2.5 est\u00e1 dedicada al estudio de existencia de soluciones extremales en presencia de subsoluciones y sobresoluciones de diversas ecuaciones din\u00e1micas funcionales con condiciones de frontera funcionales en las que la parte no lineal de la ecuaci\u00f3n es una funci\u00f3n $l_delta^1-$carath\u00e9odory y se proporcionan diversos m\u00e9todos mon\u00f3tonos para aproximarlas.  la secci\u00f3n 2.6 se dedica al estudio de la existencia, unicidad y aproximaci\u00f3n de soluciones de un problema de frontera de primer orden en un intervalo de un subconjunto cerrado de $ $, que toma sus valores en otro subconjunto cerrado de $ $ a trav\u00e9s de su problema rec\u00edproco. Los resultados de existencia y aproximaci\u00f3n  de soluciones extremales para ecuaciones din\u00e1micas con condiciones iniciales probados en secciones anteriores son la clave para obtener los resultados considerando ecuaciones din\u00e1micas cuya parte no lineal es no negativa y verifican un cierto tipo de condiciones de carath\u00e9odory inversas y discontinuidad.  en la secci\u00f3n 2.7 probamos la existencia y aproximaci\u00f3n de soluciones extremales de un sistema con infinitas ecuaciones din\u00e1micas funcionales con condiciones de frontera funcionales en presencia de subsoluciones y sobresoluciones. Los resultados obtenidos en secciones anteriores sobre la existencia de soluciones extremales para la ecuaci\u00f3n din\u00e1mica escalar con condici\u00f3n inicial y el teorema de tarski son la base para la obtenci\u00f3n de los resultados de esta secci\u00f3n.  dedicamos el cap\u00edtulo 3 al estudio de diversos problemas de ecuaciones din\u00e1micas de segundo orden. Hemos utilizado un enfoque variacional, as\u00ed como la teor\u00eda de puntos cr\u00edticos, para establecer la existencia de m\u00faltiples soluciones positivas de diversas ecuaciones din\u00e1micas, tanto regulares como singulares, de segundo orden con condiciones de dirichlet homog\u00e9neas en la frontera. En las secciones 3.2 y 3.3 se demuestra la existencia de soluciones en el sentido d\u00e9bil de ciertos problemas mientras que el objetivo de la secci\u00f3n 3.4 es probar la existencia de soluciones en el sentido de las distribuciones de otro problema. La desigualdad de wirtinger ser\u00e1 la clave para garantizar que el operador usado en la formulaci\u00f3n variacional de los distintos problemas considerados es acotado superiormente y coercivo, y de ah\u00ed poder asegurar, por la teor\u00eda de puntos cr\u00edticos, la existencia de un m\u00ednimo que ser\u00e1 la soluci\u00f3n d\u00e9bil del problema.  los resultados obtenidos son muy novedosos en la literatura, tanto por la t\u00e9cnica empleada para demostrarlos como por la amplia clase de funciones que se pueden elegir en la parte no lineal de la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00ab<strong>Problemas de frontera para ecuaciones din\u00e1micas<\/strong>\u00ab<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 Problemas de frontera para ecuaciones din\u00e1micas <\/li>\n<li><strong>Autor:<\/strong>\u00a0 Dolores Rodr\u00edguez  Vivero <\/li>\n<li><strong>Universidad:<\/strong>\u00a0 Santiago de compostela<\/li>\n<li><strong>Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 23\/07\/2010<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>Director de la tesis<\/strong>\n<ul>\n<li>Mar\u00eda Victoria Otero Espinar<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Tribunal<\/strong>\n<ul>\n<li>Presidente del tribunal: ravi Agarwal <\/li>\n<li>Juan  Jos\u00e9 Nieto roig (vocal)<\/li>\n<li>kanishka Perera (vocal)<\/li>\n<li>daniel Franco leis (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tesis doctoral de Dolores Rodr\u00edguez Vivero Numerosos problemas que han surgido en diversas ciencias como la f\u00edsica, biolog\u00eda o econom\u00eda 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