{"id":104584,"date":"2018-03-11T10:27:39","date_gmt":"2018-03-11T10:27:39","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/geometric-multigrid-methods-on-semi-structured-triangular-grids\/"},"modified":"2018-03-11T10:27:39","modified_gmt":"2018-03-11T10:27:39","slug":"geometric-multigrid-methods-on-semi-structured-triangular-grids","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/analisis-numerico\/geometric-multigrid-methods-on-semi-structured-triangular-grids\/","title":{"rendered":"Geometric multigrid methods on semi-structured triangular grids"},"content":{"rendered":"<h2>Tesis doctoral de <strong> Carmen Rodrigo Cardiel <\/strong><\/h2>\n<p>La simulaci\u00f3n num\u00e9rica de problemas de la f\u00edsica y la ingenier\u00eda representa uno de los campos m\u00e1s importantes dentro de las ciencias aplicadas, siendo el contexto natural de aplicaci\u00f3n de la mayor\u00eda de las t\u00e9cnicas m\u00e1s recientes del an\u00e1lisis num\u00e9rico. Para el estudio de modelos matem\u00e1ticos que describen problemas cient\u00edficos y t\u00e9cnicos, a menudo se requiere la resoluci\u00f3n de ecuaciones en derivadas parciales (edps). Para ello, discretizaciones por elementos finitos, vol\u00famenes finitos o diferencias finitas se consideran para aproximar de forma adecuada el problema continuo, capturando de forma precisa las caracter\u00edsticas de los procesos f\u00edsicos que son descritos por ellos. estos modelos, a menudo deben ser resueltos en dominios complejos, por lo que una t\u00e9cnica muy popular para su simulaci\u00f3n es usar el m\u00e9todo de elementos finitos para discretizar el problema en una partici\u00f3n no estructurada del dominio. Este m\u00e9todo se prefiere debido a su flexibilidad y su habilidad para tratar dominios con formas arbitrarias. la discretizaci\u00f3n de edps por este m\u00e9todo da lugar a grandes sistemas sparse de ecuaciones algebraicas, que tienen que ser resueltos eficientemente. Principalmente dos tipos de m\u00e9todos pueden ser utilizados con este fin: m\u00e9todos directos e iterativos. Mientras que los primeros no son adecuados para tratar sistemas sparse, e incluso en algunos casos la resoluci\u00f3n por estos m\u00e9todos resulta impracticable por el tama\u00f1o extremadamente grande de los sistemas, los m\u00e9todos iterativos aparecen como una alternativa que mantiene el coste computacional aceptable. Sin embargo, la mayor\u00eda de los m\u00e9todos iterativos cl\u00e1sicos no garantizan una convergencia r\u00e1pida. Sin embargo, algunos de ellos tienen lo que se denomina \u00abpropiedad de suavizado&#8217;, que consiste en que poseen un efecto de suavizado sobre las componentes del error asociadas a altas frecuencias, mientras que aquellas correspondientes a bajas frecuencias se eliminan lentamente. Esto provoca que cuando el error es suave, estos m\u00e9todos ya no son capaces de eliminar las componentes que quedan y su convergencia empeora. Una posible soluci\u00f3n consiste en combinar la propiedad de suavizado de estos m\u00e9todos, con la idea de que un error que es suave puede representarse de forma correcta en una malla m\u00e1s grosera, en la que el coste computacional es m\u00e1s bajo, y donde adem\u00e1s las componentes que eran suaves en la malla fina, aparecen como oscilatorias y son eliminadas m\u00e1s eficientemente por el \u00absuavizador&#8217;. Esta combinaci\u00f3n da lugar a los m\u00e9todos multimalla, que se basan en la utilizaci\u00f3n de una jerarqu\u00eda de mallas para eliminar las diferentes componentes del error. Estos m\u00e9todos est\u00e1n entre los m\u00e1s eficientes para la resoluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones, y de hecho, pueden resolver una amplia gama de problemas con una complejidad computacional de o(n), siendo n el n\u00famero de inc\u00f3gnitas del sistema. por lo tanto, debido a su inter\u00e9s pr\u00e1ctico, en esta tesis se trata la resoluci\u00f3n de grandes sistemas sparse de ecuaciones que aparecen en la discretizaci\u00f3n de ecuaciones en derivadas parciales que modelan matem\u00e1ticamente problemas que aparecen en la vida cotidiana, mediante el dise\u00f1o de eficientes m\u00e9todos multimalla. Dentro de estos m\u00e9todos, hay dos posibles aproximaciones: los m\u00e9todos multimalla geom\u00e9tricos, que utilizan una jerarqu\u00eda de mallas, y los m\u00e9todos multimalla algebraicos, en los que no se utiliza ninguna informaci\u00f3n concerniente a la malla en la que la ecuaci\u00f3n en derivadas parciales es discretizada. Estos \u00faltimos son m\u00e1s adecuados para tratar con discretizaciones en mallas no estructuradas, pero sin embargo para algunos problemas no demuestran la eficiencia que se espera de ellos, mientras que los m\u00e9todos multimalla geom\u00e9tricos siempre muestran un menor coste por iteraci\u00f3n, debido a su habilidad de tomar ventaja de la geometr\u00eda en las estructuras de datos usadas. as\u00ed pues, aunque los m\u00e9todos multimalla algebraicos parecen m\u00e1s adecuados para tratar con dominios m\u00e1s complejos, una alternativa es la utilizaci\u00f3n de m\u00e9todos multimalla geom\u00e9tricos sobre mallas semi-estructuradas. Esta metodolog\u00eda consiste en considerar una malla inicial totalmente no estructurada para capturar la geometr\u00eda compleja del problema, y construir una jerarqu\u00eda de mallas mediante un proceso de refinamiento regular sobre cada uno de los elementos de la malla inicial. Esta estrategia resulta en una  malla globalmente no estructurada, que esta formada por regiones estructuradas, lo que permite aplicar el multimalla geom\u00e9trico sobre estas regiones directamente. Adem\u00e1s, para la aplicaci\u00f3n de un m\u00e9todo multimalla geom\u00e9trico, no es necesario construir la matriz global del sistema ya que los procesos que forman parte de estos algoritmos son procesos locales, y por lo tanto pueden ser realizados mediante operaciones basadas en mol\u00e9culas. Esto implica un importante ahorro de memoria, ya que para problemas con coeficientes constantes, unas pocas mol\u00e9culas bastan para representar el operador discreto, y adem\u00e1s resulta en una implementaci\u00f3n muy eficiente del m\u00e9todo multimalla. a lo largo de esta tesis, se trata el dise\u00f1o de m\u00e9todos multimalla geom\u00e9tricos para la resoluci\u00f3n de grandes sistemas sparse de ecuaciones, resultantes de la discretizaci\u00f3n por elementos finitos lineales de edps sobre mallas triangulares semi-estructuradas. Para el dise\u00f1o de estos m\u00e9todos, el an\u00e1lisis de fourier local aparece como una herramienta muy \u00fatil para elegir las componentes adecuadas de los algoritmos multimalla, las cuales caracterizan su comportamiento. Este an\u00e1lisis, se ha aplicado principalmente en el contexto de discretizaciones por diferencias finitas sobre mallas rectangulares, mientras que recientemente se ha presentado una extensi\u00f3n a mallas triangulares. Mediante este an\u00e1lisis y su extensi\u00f3n a problemas vectoriales, que es desarrollada en esta tesis, se obtendr\u00e1n estimadores muy precisos de la convergencia asint\u00f3tica de estos m\u00e9todos, lo que nos permitir\u00e1 elegir las componentes que proporcionen una mejor convergencia. Por esto, este an\u00e1lisis ser\u00e1 un punto clave en el desarrollo de esta tesis.  de forma m\u00e1s concreta, los contenidos de esta tesis se organizan de la siguiente manera: en el cap\u00edtulo 1, se motiva el desarrollo de esta tesis, presentando una introducci\u00f3n general de los conceptos que se van a tratar. en el cap\u00edtulo 2, se realiza una introducci\u00f3n b\u00e1sica a los m\u00e9todos multimalla, haciendo \u00e9nfasis en los conceptos fundamentales y en los aspectos computacionales. La presentaci\u00f3n de estas ideas se lleva a cabo sobre mallas estructuradas triangulares, tomando como problema modelo el problema de poisson sobre un dominio triangular equil\u00e1tero. la base te\u00f3rica del an\u00e1lisis de fourier local sobre mallas estructuradas triangulares se desarrolla en el cap\u00edtulo 3. La clave para la extensi\u00f3n de este an\u00e1lisis a mallas no ortogonales ser\u00e1 presentada y las principales aproximaciones de este an\u00e1lisis: el an\u00e1lisis de suavizado y de doble malla, se desarrollan, junto con una extensi\u00f3n a un an\u00e1lisis de k-mallas. Adem\u00e1s, se presenta un an\u00e1lisis de fourier no est\u00e1ndar para suavizadores de tipo caja y suavizadores basados en coloraciones de la malla. Al final del cap\u00edtulo, los resultados predichos mediante el an\u00e1lisis de fourier local se comparan con los resultados obtenidos computacionalmente con el c\u00f3digo, para validar las estimaciones obtenidas de la convergencia asint\u00f3tica de estos m\u00e9todos. Adem\u00e1s, estos resultados nos servir\u00e1n para analizar la influencia de la geometr\u00eda de la malla en la convergencia de los m\u00e9todos. el cap\u00edtulo 4 se centra en la implementaci\u00f3n eficiente de un m\u00e9todo multimalla geom\u00e9trico para discretizaciones mediante elementos finitos lineales sobre mallas semi-estructuradas. Se presentan las ventajas que nos ofrecen este tipo de mallas, al igual que la posibilidad de utilizar operaciones basadas en mol\u00e9culas. Se detalla la implementaci\u00f3n del m\u00e9todo de elementos finitos en forma molecular, y una forma eficiente de construir dichas mol\u00e9culas utilizando un hex\u00e1gono de referencia. Finalmente, se muestra la utilidad del an\u00e1lisis de fourier local para el dise\u00f1o de un algoritmo multimalla geom\u00e9trico por bloques, en el cual en cada elemento triangular de la malla m\u00e1s grosera se eligen componentes del algoritmo distintas dependiendo de la geometr\u00eda de estas regiones. en el cap\u00edtulo 5, las ideas desarrolladas en los cap\u00edtulos anteriores para problemas escalares se extienden a problemas vectoriales. Principal atenci\u00f3n se centra en la generalizaci\u00f3n del an\u00e1lisis de fourier local a sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Adem\u00e1s, con el objetivo de ilustrar la implementaci\u00f3n en forma molecular de estos problemas, las ecuaciones de la elasticidad se consideran como problema modelo. Para terminar con este cap\u00edtulo, el an\u00e1lisis de fourier local se utiliza para dise\u00f1ar un m\u00e9todo multimalla geom\u00e9trico eficiente para el problema modelo de la elasticidad, y algunos experimentos num\u00e9ricos son presentados para demostrar el buen comportamiento del m\u00e9todo propuesto. el cap\u00edtulo 6 se centra en el dise\u00f1o de un algoritmo multimalla geom\u00e9trico eficiente para una estabilizaci\u00f3n de la discretizaci\u00f3n por elementos finitos lineales del problema de la poroelasticidad. Se introduce el modelo f\u00edsico de este problema y se comentan las dificultades num\u00e9ricas que aparecen en su resoluci\u00f3n mediante m\u00e9todos de elementos finitos est\u00e1ndar. Se presenta una manera de estabilizar este problema mediante la introducci\u00f3n de un t\u00e9rmino de perturbaci\u00f3n en la ecuaci\u00f3n del flujo, y se ilustra la implementaci\u00f3n molecular de esta discretizaci\u00f3n. Para acabar el cap\u00edtulo, se propone un m\u00e9todo multimalla geom\u00e9trico, basado en suavizadores de tipo caja, que resulta en un m\u00e9todo eficiente para la resoluci\u00f3n de este problema, lo que se confirma con algunos resultados del an\u00e1lisis de fourier local y algunos experimentos num\u00e9ricos. finalmente, en el cap\u00edtulo 7, se comentan las principales ideas de esta tesis y se presentan algunas conclusiones. Adem\u00e1s, los resultados originales que han surgido en este trabajo son concretados y se comentan futuras l\u00edneas de investigaci\u00f3n relacionadas con el trabajo aqu\u00ed presentado.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00ab<strong>Geometric multigrid methods on semi-structured triangular grids<\/strong>\u00ab<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 Geometric multigrid methods on semi-structured triangular grids <\/li>\n<li><strong>Autor:<\/strong>\u00a0 Carmen Rodrigo Cardiel <\/li>\n<li><strong>Universidad:<\/strong>\u00a0 Zaragoza<\/li>\n<li><strong>Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 29\/10\/2010<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>Director de la tesis<\/strong>\n<ul>\n<li>Francisco Javier Lisbona Cort\u00e9s<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Tribunal<\/strong>\n<ul>\n<li>Presidente del tribunal: Juan  ignacio Montijano torcal <\/li>\n<li>cornelis w. Oosterlee (vocal)<\/li>\n<li>ulrich R\u00ed\u00bcde (vocal)<\/li>\n<li>irad Yavneh (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tesis doctoral de Carmen Rodrigo Cardiel La simulaci\u00f3n num\u00e9rica de problemas de la f\u00edsica y la ingenier\u00eda representa uno de [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""}},"footnotes":""},"categories":[1191,16191,1193,13610],"tags":[211314,211315,27918,211317,150494,211316],"class_list":["post-104584","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisis-numerico","category-metodos-iterativos","category-resolucion-de-ecuaciones-diferenciales-en-derivadas-parciales","category-zaragoza","tag-carmen-rodrigo-cardiel","tag-cornelis-w-oosterlee","tag-francisco-javier-lisbona-cortes","tag-irad-yavneh","tag-juan-ignacio-montijano-torcal","tag-ulrich-ride"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/104584","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=104584"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/104584\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=104584"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=104584"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=104584"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}