{"id":108866,"date":"2011-03-06T00:00:00","date_gmt":"2011-03-06T00:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/a-dynamical-theory-for-monotone-neutral-functional-differential-equations-with-application-to-compartmental-systems\/"},"modified":"2011-03-06T00:00:00","modified_gmt":"2011-03-06T00:00:00","slug":"a-dynamical-theory-for-monotone-neutral-functional-differential-equations-with-application-to-compartmental-systems","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/valladolid\/a-dynamical-theory-for-monotone-neutral-functional-differential-equations-with-application-to-compartmental-systems\/","title":{"rendered":"A dynamical theory for monotone neutral functional differential equations with application to compartmental systems"},"content":{"rendered":"<h2>Tesis doctoral de <strong> V\u00edctor Mu\u00f1oz Villarragut <\/strong><\/h2>\n<p>Una de las cuestiones m\u00e1s importantes en la teor\u00eda de ecuaciones diferenciales no aut\u00f3nomas es la descripci\u00f3n a largo plazo de sus trayectorias. Cuando las funciones que definen tales ecuaciones presentan una variaci\u00f3n recurrente en el tiempo, sus soluciones definen de manera natural un semiflujo triangular. Gracias a este semiflujo triangular, se pueden analizar en detalle las trayectorias por medio de m\u00e9todos de din\u00e1mica topol\u00f3gica. En este trabajo, se estudia la estructura de los conjuntos omega-l\u00edmite, lo cual proporciona una visi\u00f3n global de la din\u00e1mica de la ecuaci\u00f3n. Es bien sabido que, en algunos casos, los conjuntos omega-l\u00edmite heredan algunas de las propiedades del campo que define la ecuaci\u00f3n; en otros casos, su din\u00e1mica puede ser mucho m\u00e1s compleja.  las ecuaciones diferenciales funcionales (abreviado fdes) con retardo son un tipo concreto de ecuaciones diferenciales que tienen en cuenta no solo el estado actual del sistema, sino tambi\u00e9n algunos de sus estados pasados. Su inter\u00e9s pr\u00e1ctico reside en el hecho de que permiten construir modelos matem\u00e1ticos en los que el pasado influye en el futuro; algunas aplicaciones dignas de menci\u00f3n son los modelos en epidemiolog\u00eda, la din\u00e1mica de poblaciones y la ingenier\u00eda de control. Las ecuaciones diferenciales funcionales neutrales (abreviado nfdes) con retardo son una generalizaci\u00f3n muy importante de tales ecuaciones. En ellas, se considera la derivada del valor de un operador en lugar de la derivada de la soluci\u00f3n. As\u00ed, los modelos que utilizan nfdes pueden representar incrementos y decrementos espont\u00e1neos de la soluci\u00f3n aparte de la dependencia temporal proporcionada por las fdes.  el estudio de las propiedades din\u00e1micas de los semiflujos triangulares se ha abordado a menudo asumiendo ciertas condiciones de monoton\u00eda para el semiflujo. Estas condiciones son una herramienta \u00fatil a la hora de deducir el comportamiento a largo plazo de las soluciones. Cabe mencionar que hay una gran diversidad de condiciones de monoton\u00eda, que var\u00edan de la quasi-monoton\u00eda a la monoton\u00eda fuerte.  durante d\u00e9cadas, se han estudiado ampliamente ecuaciones diferenciales aut\u00f3nomas mon\u00f3tonas (v\u00e9anse hirsch, matano, pol\u00e1cik y smith, entre muchos otros). Bajo hip\u00f3tesis adecuadas, se ha demostrado que las trayectorias relativamente compactas de un semiflujo fuertemente mon\u00f3tono convergen gen\u00e9ricamente hacia el conjunto de equilibrios. Posteriormente, smith y thieme estudiaron la din\u00e1mica del semiflujo inducido por una fde con retardo finito que es mon\u00f3tona para el orden exponencial. Esta relaci\u00f3n de orden es t\u00e9cnicamente complicada, pero les permiti\u00f3 estudiar ecuaciones que no satisfacen la condici\u00f3n quasi-mon\u00f3tona habitual asociada al orden est\u00e1ndar. Krisztin y wu, y wu y zhao extendieron estos resultados para nfdes con retardo finito y ecuaciones de evoluci\u00f3n, respectivamente.  \u00faltimamente, se ha hecho un gran esfuerzo para estudiar ecuaciones diferenciales no aut\u00f3nomas mon\u00f3tonas deterministas y aleatorias, lo cual ha proporcionado una teor\u00eda din\u00e1mica tanto para el orden est\u00e1ndar como para el orden exponencial (v\u00e9anse por ejemplo chueshov, jiang y zhao, mu\u00f1oz-villarragut, novo y obaya, novo, obaya y villarragut, novo, obaya y sanz, y shen y yi). Asumiendo ciertas propiedades de acotaci\u00f3n, compacidad relativa y estabilidad uniforme de las trayectorias, esta teor\u00eda asegura la convergencia de las \u00f3rbitas hacia soluciones que reproducen la din\u00e1mica exhibida por la variaci\u00f3n temporal de la ecuaci\u00f3n. Cabe destacar que, cuando se trata de fdes con retardo infinito o, m\u00e1s en general, nfdes con retardo infinito, la propiedad de monoton\u00eda fuerte nunca es cierta, con lo que se deben hacer suposiciones m\u00e1s d\u00e9biles acerca de la monoton\u00eda del semiflujo.  el origen de esta teor\u00eda se remonta a los a\u00f1os 70, cuando sacker y sell demostraron algunos resultados previos sobre la estructura de los conjuntos omega-l\u00edmite en el caso de ecuaciones casi peri\u00f3dicas. M\u00e1s adelante, shen y yi continuaron con su trabajo en el caso de un flujo distal en la base. Se pueden encontrar resultados m\u00e1s generales en novo, obaya y sanz; concretamente, estudiaron la estructura de los conjuntos omega-l\u00edmite en $bu$, el espacio de funciones de $(-infty,0]$ en $ ^m$ que son acotadas y uniformemente continuas, dotado de la topolog\u00eda compacto-abierta, cuando el flujo de la base es solo minimal y asumiendo una propiedad de estabilidad que est\u00e1 \u00edntimamente relacionada con la distalidad en la fibra. Tambi\u00e9n dedujeron que es apropiado considerar esa topolog\u00eda al estudiar nfdes con retardo infinito pues, bajo hip\u00f3tesis naturales, las restricciones de los semiflujos definidos por estas ecuaciones a sus conjuntos omega-l\u00edmite resultan ser continuas.  se puede hacer un estudio alternativo de las soluciones recurrentes de fdes casi peri\u00f3dicas utilizando espacios de memoria evanescente (v\u00e9ase hino, murakami y naito para una definici\u00f3n axiom\u00e1tica y algunas sus propiedades m\u00e1s importantes), aunque, bajo hip\u00f3tesis naturales, la topolog\u00eda de la norma en estos espacios coincide con la topolog\u00eda compacto-abierta en la adherencia de las trayectorias relativamente compactas, lo cual hace que el enfoque de novo, obaya y sanz parezca m\u00e1s razonable.  se puede encontrar otro planteamiento interesante del estudio de nfdes en staffans, donde se establece que cualquier nfde con retardo finito y operador estable y aut\u00f3nomo se puede escribir como una fde con retardo infinito en un espacio de memoria evanescente adecuado. Gripenberg, londen y staffans estudian las propiedades fundamentales del operador de convoluci\u00f3n asociado a la ecuaci\u00f3n. Estas ideas fueron utilizadas en algunos art\u00edculos posteriores (v\u00e9anse por ejemplo arino y bourad, y haddock, krisztin, terj\u00e9ki y wu). Se pueden encontrar resultados m\u00e1s generales en esta l\u00ednea en mu\u00f1oz-villarragut, novo y obaya, y novo, obaya y villarragut, donde se consideran operadores lineales aut\u00f3nomos con retardo infinito. muchos problemas que hab\u00edan sido resueltos anteriormente para fdes se han generalizado al caso de nfdes; a su vez, estas extensiones han planteado interesantes problemas que dan lugar al marco actual. En el caso de nfdes con retardo infinito y operador aut\u00f3nomo, una transformaci\u00f3n tanto del orden est\u00e1ndar como del orden exponencial por medio del operador de convoluci\u00f3n asociado a la ecuaci\u00f3n proporciona la herramienta necesaria para lograr los resultados esperados, como se puede ver en mu\u00f1oz-villarragut, novo y obaya, y novo, obaya y villarragut.  algunos de los muchos modelos que consisten en nfdes con retardo son los modelos compartimentales. Est\u00e1n formados por varios compartimentos unidos por medio de tuber\u00edas; los compartimentos contienen cierto material que fluye entre ellos a trav\u00e9s de las tuber\u00edas, y esto ocurre en una cantidad de tiempo no despreciable. A su vez, los compartimentos crean y destruyen material, lo cual queda representado por la parte neutral de la ecuaci\u00f3n. El inter\u00e9s te\u00f3rico de estos modelos reside en la existencia de una integral primera que garantiza ciertas propiedades de estabilidad para el semiflujo que son esenciales en la teor\u00eda. Estas nfdes modelan procesos f\u00edsicos y biol\u00f3gicos para los que hay un balance que no es instant\u00e1neo, aunque se han utilizado en otras \u00e1reas como la econom\u00eda. Algunas de estas aplicaciones son la ecolog\u00eda, la epidemiolog\u00eda, la farmacolog\u00eda, la termodin\u00e1mica, la teor\u00eda de control y la cinem\u00e1tica de medicamentos (v\u00e9anse eisenfeld, y haddad, chellaboina y hui, entre muchos otros).  los sistemas compartimentales se han utilizado como modelos matem\u00e1ticos para el estudio del comportamiento din\u00e1mico de muchos procesos en las ciencias biol\u00f3gicas y f\u00edsicas (v\u00e9anse jacquez, jacquez y simon, y las referencias que all\u00ed aparecen). algunos resultados iniciales para el caso de fdes con retardo finito e infinito se deben a gy\u00ed\u00b6ri, y gy\u00ed\u00b6ri y eller. M\u00e1s adelante, arino y haourigui demostraron que los sistemas compartimentales descritos por fdes casi peri\u00f3dicas con retardo finito dan lugar a ciertas soluciones casi peri\u00f3dicas. Gy\u00ed\u00b6ri y wu, wu, wu y freedman, arino y bourad y krisztin y wu estudiaron el caso de sistemas compartimentales representados por nfdes con retardo finito e infinito y operador aut\u00f3nomo. M\u00e1s recientemente, estos resultados fueron extendidos en mu\u00f1oz-villarragut, novo y obaya, y novo, obaya y villarragut, concluy\u00e9ndose que las trayectorias relativamente compactas convergen a soluciones que reproducen la variaci\u00f3n temporal de la ecuaci\u00f3n y, lo que es m\u00e1s, se puede predecir cu\u00e1l ser\u00e1 la cantidad final de material dentro de los compartimentos en funci\u00f3n de la geometr\u00eda de las tuber\u00edas.  en este trabajo, estudiamos nfdes no aut\u00f3nomas con operador lineal no aut\u00f3nomo y retardo infinito. Es esta situaci\u00f3n, las conclusiones principales que hay en la literatura previa no siguen siendo v\u00e1lidas y, as\u00ed, la extensi\u00f3n de la teor\u00eda requiere el uso de una definici\u00f3n alternativa de orden exponencial que se pueda aplicar en el contexto actual, preservando las propiedades din\u00e1micas de la teor\u00eda anterior. Asumimos algunas propiedades de recurrencia en la variaci\u00f3n temporal de la nfde; as\u00ed, sus soluciones inducen un semiflujo triangular con flujo minimal en la base, $omega$. En concreto, los casos casi peri\u00f3dico y casi autom\u00f3rfico quedan incluidos en esta formulaci\u00f3n. Invertimos el operador de convoluci\u00f3n asociado a la ecuaci\u00f3n, generalizando resultados previos en esta l\u00ednea encontrados en mu\u00f1oz-villarragut, novo y obaya. Las propiedades de regularidad de este operador de convoluci\u00f3n dependen del tipo de recurrencia presentada por la variaci\u00f3n temporal de la ecuaci\u00f3n. Asimismo, se consideran nuevas relaciones transformadas de orden, asociadas tanto al orden est\u00e1ndar como al orden exponencial; como el operador es no aut\u00f3nomo, este orden parcial no est\u00e1 definido en $bu$, sino en cada una de las fibras del producto $omega\times bu$. De este modo, damos una versi\u00f3n alternativa a la estructura de orden introducida en wu y freedman que es v\u00e1lida en el caso de operadores no aut\u00f3nomos. Cuando se utiliza $bu$ como espacio de fase, la teor\u00eda est\u00e1ndar de nfdes proporciona existencia, unicidad y dependencia continua de las soluciones. Esto nos permite estudiar la estructura de los conjuntos omega-l\u00edmite de las trayectorias acotadas cuando la ecuaci\u00f3n satisface ciertas propiedades de monoton\u00eda, mejorando resultados previos que aparecen en mu\u00f1oz-villarragut, novo y obaya, y novo, obaya y villarragut, y smith y thieme, entre otros.  el uso del orden exponencial transformado hace posible imponer condiciones de monoton\u00eda que no requieren la diferenciabilidad de los coeficientes que definen el operador, sino solo su continuidad. Esto hace que el orden exponencial transformado sea m\u00e1s natural que el orden exponencial directo cuando el operador es no aut\u00f3nomo. Estos resultados te\u00f3ricos se aplican a sistemas compartimentales y, de este modo, obtenemos conclusiones bajo condiciones m\u00e1s generales que las presentadas en la literatura previa, mejorando as\u00ed algunos resultados previos para sistemas din\u00e1micos que son mon\u00f3tonos para el orden exponencial incluso en sus versiones aut\u00f3nomas. Concretamente, des-cribimos la cantidad final de material dentro de los compartimentos en el caso de sistemas compartimentales definidos por nfdes con operador no aut\u00f3nomo y retardo infinito.  no obstante, en los cap\u00edtulos 9 y 10, asumimos la diferenciabilidad de los coeficientes que definen el operador y estudiamos algunos sistemas compartimentales que son mon\u00f3tonos para el orden exponencial directo. Adem\u00e1s, mostramos que la propiedad de 1-recubrimiento de los conjuntos omega-l\u00edmite es cierta, extendiendo de esta forma resultados anteriores de krisztin y wu al caso de nfdes con variaci\u00f3n recurrente en el tiempo.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00ab<strong>A dynamical theory for monotone neutral functional differential equations with application to compartmental systems<\/strong>\u00ab<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 A dynamical theory for monotone neutral functional differential equations with application to compartmental systems <\/li>\n<li><strong>Autor:<\/strong>\u00a0 V\u00edctor Mu\u00f1oz Villarragut <\/li>\n<li><strong>Universidad:<\/strong>\u00a0 Valladolid<\/li>\n<li><strong>Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 03\/06\/2011<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>Director de la tesis<\/strong>\n<ul>\n<li>Rafael Obaya Garc\u00eda<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Tribunal<\/strong>\n<ul>\n<li>Presidente del tribunal: sylvia Novo mart\u00edn <\/li>\n<li>peter Kl\u00ed\u00b6den (vocal)<\/li>\n<li>tom\u00e1s Caraballo garrido (vocal)<\/li>\n<li>tibor Krisztin (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tesis doctoral de V\u00edctor Mu\u00f1oz Villarragut Una de las cuestiones m\u00e1s importantes en la teor\u00eda de ecuaciones diferenciales no aut\u00f3nomas 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