{"id":109318,"date":"2018-03-11T10:34:41","date_gmt":"2018-03-11T10:34:41","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/bases-completas-de-polinomios-de-zernike-discretos-aplicaciones-en-optica-y-vision\/"},"modified":"2018-03-11T10:34:41","modified_gmt":"2018-03-11T10:34:41","slug":"bases-completas-de-polinomios-de-zernike-discretos-aplicaciones-en-optica-y-vision","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/optica-fisica\/bases-completas-de-polinomios-de-zernike-discretos-aplicaciones-en-optica-y-vision\/","title":{"rendered":"Bases completas de polinomios de zernike discretos. aplicaciones en \u00f3ptica y visi\u00f3n."},"content":{"rendered":"<h2>Tesis doctoral de <strong> Jos\u00e9 Ricardo Rivera Cheuquepan <\/strong><\/h2>\n<p>Bases completas de polinomios de zernike discretos. Aplicaciones en \u00f3ptica y visi\u00f3n  introducci\u00f3n los polinomios de zernike (pz) son de gran utilidad en la \u00f3ptica, porque forman una base ortogonal completa en un c\u00edrculo de radio unidad. Debido a que muchos instrumentos \u00f3pticos tienen una simetr\u00eda circular y pupilas circulares, la expansi\u00f3n en pz se puede utilizar para describir cualquier funci\u00f3n en el plano de la pupila, en particular, la fase del frente de onda o aberraci\u00f3n de onda. Por ello tienen mucho inter\u00e9s en aplicaciones como el dise\u00f1o \u00f3ptico [1], medidas de calidad \u00f3ptica [2], sensores de frente de onda [3,4,5], \u00f3ptica adaptativa [6,7], interferometr\u00eda [9,10,11], metrolog\u00eda de superficie (profilometr\u00eda, topograf\u00eda) [12, 13] y \u00f3ptica atmosf\u00e9rica [14] entre otros. La descripci\u00f3n modal en base a pzs ha tenido mucho \u00e9xito en todos estos campos de aplicaci\u00f3n. Hoy en d\u00eda los polinomios de zernike est\u00e1n presentes en  tecnolog\u00edas actuales usadas en oftalmolog\u00eda, telescopios, software de dise\u00f1o y simulaci\u00f3n \u00f3ptica, etc. a pesar de la importancia de la base de los polinomios de zernike, \u00e9sta presenta varios inconvenientes en aplicaciones pr\u00e1cticas. El problema m\u00e1s importante es que en aplicaciones reales no se usan los polinomios en forma anal\u00edtica sino versiones discretas dado que se trabaja con redes de muestreo (cuadradas, exagonales, etc.)  Una vez muestreados. La base de pzs pierde sus dos propiedades m\u00e1s importantes, es decir deja de ser completa y ortogonal.  Otro problema adicional es que en muchas aplicaciones se basan en reconstruir el frente de onda integrando a partir de las derivadas parciales de los pzs, pero las derivadas parciales discretas tampoco son completas ni ortogonales.     objetivos el objetivo de esta tesis es buscar soluciones a estos problemas, validando los resultados te\u00f3ricos mediante simulaciones num\u00e9ricas realistas y finalmente en al menos una aplicaci\u00f3n real. Este objetivo general se desglosa en los siguientes aspectos u objetivos concretos:   1.\tLa primera parte de la tesis tiene como objetivo estudiar bajo que condiciones es posible obtener una base completa y ortogonal de pz discretos, y a partir de dicha base, implementar una transformaci\u00f3n invertible discreta de zernike. De esta forma se puede trabajar con el mismo n\u00famero de muestras (puntos i) que de modos (coeficientes) de zernike y poder pasar de un dominio a su transformado de forma exacta. Esto es totalmente distinto al m\u00e9todo est\u00e1ndar que se basa en sobremuestrear ampliamente el frente de onda para obtener los modos de zernike mediante m\u00ednimos cuadrados.   2.\tEn la segunda, se pretende extender estos resultados a la formulaci\u00f3n compleja de los pzs. La idea es que en los pzs complejos forman a su vez una base completa y ortogonal para representar funciones complejas y en particular la funci\u00f3n pupila compleja, es decir la amplitud y fase del frente de onda, que puede ser de inter\u00e9s para pupilas de transmisi\u00f3n no uniforme (apodizaci\u00f3n) o en el caso del ojo humano (efecto stiles-crawford)  3.\tMuchas de las aplicaciones se basan en la reconstrucci\u00f3n del frente de onda a partir de su gradiente (derivadas parciales). El objetivo es verificar si es posible extender los resultados del punto 1 a la base formada por las derivadas de los pzs. En este caso, dado que hay dos medidas por cada punto, si la base es completa, ser\u00eda posible trabajar con muestreo cr\u00edtico, es decir doble n\u00famero de modos de zernike por cada punto de muestreo. De cara a la aplicaci\u00f3n a medidas experimentales con sensores de frente de ondas, ser\u00e1 necesario analizar problemas potenciales de amplificaci\u00f3n de ruido para encontrar el n\u00famero \u00f3ptimo de modos a reconstruir en funci\u00f3n de la raz\u00f3n se\u00f1al-ruido de las medidas.  4.\tEl \u00faltimo objetivo es la aplicaci\u00f3n de los polinomios de zernike discretos en un problema real. Para ello el objetivo es colaborar en la validaci\u00f3n experimental de un modelo realista y personalizado de la agudeza visual [nestares, navarro antona, 2003], construido a partir de las aberraciones (modos de zernike) medidas en un grupo de sujetos. Se trata de un experimento de alta complejidad en la cual primero se mide experimentalmente y luego se realiza una simulaci\u00f3n (lo m\u00e1s realista posible) adaptada tanto al ojo como a las condiciones experimentales durante la medida, comparando finalmente los resultados con el fin de determinar la fidelidad del modelo.  m\u00e9todolog\u00eda y desarrollo del trabajo para la consecuci\u00f3n de los objetivos 1, 2 y 3 se aplica una metodolog\u00eda similar, que consta de varias fases. En primer la formulaci\u00f3n te\u00f3rica del problema seguido por la b\u00fasqueda de patrones de muestreo que puedan dar lugar a la completitud de la base (en los tres casos analizados: pzs, derivadas parciales de pzs y pzs complejos). Dicha b\u00fasqueda se basa en evitar la redundancia de las coordenadas en la red de muestreo (bidimensional) del c\u00edrculo. Esto se puede conseguir con muestreos aleatorios o espirales. Una vez conseguida la completitud, ya es posible en teor\u00eda aplicar una transformaci\u00f3n directa e inversa, con lo cual el procedimiento es reversible. Sin embargo, en la transformaci\u00f3n inversa aparece el problema de inestabilidad num\u00e9rica y amplificaci\u00f3n de ruido (con datos reales) asociada a la inversi\u00f3n de una matriz de grandes dimensiones. Este punto es crucial por lo que es necesario estudiarlo en detalle. La forma est\u00e1ndar s realizar una descomposici\u00f3n en valores singulares, y a partir de aqu\u00ed obtener el condicionamiento num\u00e9rico (cociente entre el m\u00e1ximo y el m\u00ednimo valor singular).  a partir de aqu\u00ed existen dos opciones. Una es ortogonalizar la base mediante la factorizaci\u00f3n qr (gram-schmidt o householder), donde q es una matriz ortogonal (q-1 = qt)  cuyas columnas son los vectores de la nueva base, y r es una matriz de cambio de base (triangular). Uno de los objetivos (derivado de los anteriores) es buscar el sentido f\u00edsico de esta nueva base ortogonal, as\u00ed como el de la matriz de cambio de base. Este m\u00e9todo tiene la ventaja de que en la base q la inversi\u00f3n es trivial (transposici\u00f3n) y libre de inestabilidad y amplificaci\u00f3n de ruido, pero en ciertas aplicaciones hay que volver a la base original por lo que si hay que invertir r tenemos de nuevo el problema del condicionamiento. Por ello es importante optimizar el patr\u00f3n de muestreo para conseguir el mejor condicionamiento num\u00e9rico adem\u00e1s de completitud. Esto puede llevarse a cabo variando la densidad de muestras en funci\u00f3n de la distancia al centro, o dando pesos distintos a los puntos de muestreo, bas\u00e1ndose en procedimientos de cubatura.                  todos los resultados de estos procedimientos han de validarse mediante simulaciones num\u00e9ricas realistas incluyendo ruido en los datos de entrada. Estas simulaciones tambi\u00e9n son importantes para optimizar par\u00e1metros y procedimientos de cara a las aplicaciones pr\u00e1cticas.                     finalmente, como aplicaci\u00f3n a un problema real, el doctorando participa en un proyecto, en colaboraci\u00f3n con otros miembros de nuestro grupo de investigaci\u00f3n, que consiste en la validaci\u00f3n experimental de un modelo bayesiano de agudeza visual. El experimento es complejo y consiste en tres fases diferentes y participa un n\u00famero de sujetos voluntarios (entre ellos el doctorando). La primera consiste en medir, en cada sujeto, las aberraciones oculares monocrom\u00e1ticas con el m\u00e9todo de trazado de rayos l\u00e1ser (trl)[2]. En la segunda se determina la agudeza visual, para lo cual se sit\u00faa al voluntario a 6 m de una pantalla (lcd) donde se muestran optotipos (letras) en una secuencia aleatoria que se guarda para ser usada en la simulaci\u00f3n . Durante todo el proceso se realiza una monitorizaci\u00f3n del di\u00e1metro de la pupila mediante un pupil\u00f3metro infrarojo remoto (desarrollado a tal fin). La tercera parte consiste en simular num\u00e9ricamente todo el proceso, usando para ello los datos almacenados (di\u00e1metro pupilar, secuencia de presentaci\u00f3n de optotipos con los aciertos y fallos, y todos los datos medidos en el sujeto (aberraci\u00f3n de onda) y el modelo de agudeza visual [14]. La validaci\u00f3n del modelo se realiza mediante la comparaci\u00f3n directa de las agudezas visuales determinadas experimentalmente y las predichas por el modelo.  esta tesis se encuadra en el proyecto de investigaci\u00f3n fis2008-00697 (cicyt). El doctorando ha dispuesto de una beca alban (america latina becas de alto nivel), otorgada por la uni\u00f3n europea n\u00c2\u00ba e07d402088cl.   referencias: 1.  V. N. Mahajan, zernike polynomials and wavefront fitting in optical shop testing, 3rd ed., D. Malacara, ed. (Wiley, new york, 2007). 2.  R. Navarro, e. Moreno-barriuso, a laser ray tracing method for optical testing, opt. Lett., 24, 951-953  (1999). 3.  R. J. Noll, phase estimates from slope type wave front sensors,j. Opt. Soc. Am. 68, 139-140 (1978). 4.  R. Cubalchini, modal wave-front estimation from phase derivative measurements,j. Opt. Soc. Am. 69, 972-977 (1979).   5.  J.Y.Wang and d.E.Silva, wave-front interpretation with zernike polynomials,appl. Opt. 19, 1510-1518 (1980). 6.  R. K. Tyson, principles of adaptive optics (academic, boston, 1991). 7.  J. Alda and g. D. Boreman, zernike-based matrix model of deformable mirrors: optimization of aperture size,appl. Opt. 32, 2431-38 (1993). 8.  C.-J. Kim, polynomial fit of interferograms, appl. Opt. 21, 4521-4525 (1982). 9.  H. Van brug, zernike polynomials as a basis for wave-front fitting in lateral shearing interferometry,appl. Opt. 36, 278890 (1997). 10.  B. Qi, h. Chen, and n. Dong, wavefront fitting of interferograms with zernike polynomials,opt. Eng. 41, 15669 (2002). 11.  J. Nam and j. Rubinstein, numerical reconstruction of optical surfaces,j.Opt.Soc.Am. A 25, 1697-1709 (2008). 12.  J. Schwiegerling, j. Greivenkamp, and j. Miller, representation of videokeratoscopic height data with zernike polynomials,j. Opt. Soc. Am. A, 12, 2105-13 (1995). 13.  R. J. Noll, zernike polynomials and atmospheric turbulence,j. Opt. Soc. Am. 66, 207-211 (1976). 14.  Nestares et al.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00ab<strong>Bases completas de polinomios de zernike discretos. aplicaciones en \u00f3ptica y visi\u00f3n.<\/strong>\u00ab<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 Bases completas de polinomios de zernike discretos. aplicaciones en \u00f3ptica y visi\u00f3n. <\/li>\n<li><strong>Autor:<\/strong>\u00a0 Jos\u00e9 Ricardo Rivera Cheuquepan <\/li>\n<li><strong>Universidad:<\/strong>\u00a0 Zaragoza<\/li>\n<li><strong>Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 20\/06\/2011<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>Director de la tesis<\/strong>\n<ul>\n<li>Rafael Navarro Belsue<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Tribunal<\/strong>\n<ul>\n<li>Presidente del tribunal: Miguel \u00e1ngel Rebolledo sanz <\/li>\n<li>Jos\u00e9 Alonso fern\u00e1ndez (vocal)<\/li>\n<li>Fernando Vargas martin (vocal)<\/li>\n<li>Juan  ignacio pedro Campos coloma (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tesis doctoral de Jos\u00e9 Ricardo Rivera Cheuquepan Bases completas de polinomios de zernike discretos. 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