{"id":109405,"date":"2018-03-11T10:34:48","date_gmt":"2018-03-11T10:34:48","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/conexiones-globales-y-comportamientos-periodicos-en-sistemas-dinamicos-lineales-a-trozos\/"},"modified":"2018-03-11T10:34:48","modified_gmt":"2018-03-11T10:34:48","slug":"conexiones-globales-y-comportamientos-periodicos-en-sistemas-dinamicos-lineales-a-trozos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sevilla\/conexiones-globales-y-comportamientos-periodicos-en-sistemas-dinamicos-lineales-a-trozos\/","title":{"rendered":"Conexiones globales y comportamientos peri\u00f3dicos en sistemas din\u00e1micos lineales a trozos"},"content":{"rendered":"<h2>Tesis doctoral de <strong> Elisabeth Garc\u00eda Medina <\/strong><\/h2>\n<p>El objetivo primordial que nos planteamos en la memoria es utilizar las particularidades de los sistemas lineales a trozos para obtener pruebas anal\u00edticas de la existencia de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas y conexiones globales en tres dimensiones.   la falta de diferenciabilidad del sistema impide, en un principio, la aplicaci\u00f3n de las t\u00e9cnicas generales de la din\u00e1mica diferenciable, y por tanto, los sistemas lineales a trozos requieren el uso de t\u00e9cnicas espec\u00edficas que permitan describir su comportamiento din\u00e1mico.  comenzamos la memoria haciendo un repaso por alguno de los conceptos fundamentales relativos a sistemas tridimensionales continuos lineales a trozos con dos zonas de linealidad.  En primer lugar, determinamos la existencia y unicidad global de soluci\u00f3n para el problema de valor inicial asociado. Despu\u00e9s, nos planteamos c\u00f3mo escribir el sistema en alg\u00fan tipo de forma can\u00f3nica y distinguimos cu\u00e1ndo el sistema puede o no desacoplarse bas\u00e1ndonos en las condiciones de controlabilidad y observabilidad. Para terminar, nos centramos en c\u00f3mo se construyen las semiaplicaciones de poincar\u00e9 y en la manera de calcular, a partir de ellas, los multiplicadores caracter\u00edsticos asociados a una \u00f3rbita peri\u00f3dica. La correcta manipulaci\u00f3n de las semiaplicaciones de poincar\u00e9 nos permitir\u00e1 llegar, en cap\u00edtulos posteriores, a ecuaciones e inecuaciones que caractericen a las distintas \u00f3rbitas peri\u00f3dicas y conexiones globales que queremos estudiar.  aunque gran parte del trabajo realizado en la memoria se puede extender de forma gen\u00e9rica a otros sistemas, en el segundo cap\u00edtulo nos centramos en una familia uniparam\u00e9trica particular de sistemas tridimensionales continuos lineales a trozos que adem\u00e1s poseen reversibilidad al cambio de signo en dos variables espaciales, divergencia nula y no se pueden desacoplar. Entre todos los miembros de la familia, elegimos un representante que podemos considerar como una versi\u00f3n lineal a trozos del conocido sistema de michelson, ya que se puede obtener de \u00e9ste tras unas simples manipulaciones. El resto del cap\u00edtulo se dedica a analizar las propiedades geom\u00e9tricas principales del flujo del sistema, de donde destacamos, por su uso en posteriores resultados, el estudio del sentido del flujo en el plano de separaci\u00f3n y la obtenci\u00f3n local de las variedades invariantes de los equilibrios. Finalizamos con las expresiones de la soluci\u00f3n de los sistemas lineales en cada zona.  en cuanto contamos con la mayor\u00eda de elementos te\u00f3ricos necesarios para abordar los problemas propuestos, nos embarcamos en la prueba de la existencia de dos conexiones globales para ciertos valores del par\u00e1metro del sistema. M\u00e1s concretamente, consideramos s\u00f3lo conexiones directas, es decir, \u00f3rbitas homoclinas que s\u00f3lo intersecan dos veces al plano de separaci\u00f3n y ciclos heteroclinos tipo punto-t que intersecan en cuatro puntos. Mediante las semiaplicaciones de poincar\u00e9, obtenemos unas condiciones (escritas como un conjunto de ecuaciones e inecuaciones) que caracterizan a cada uno de los dos objetos y comprobamos que, a pesar de ser distintos, las dos pruebas de existencia son an\u00e1logas: ambas tienen una parte com\u00fan, donde nos planteamos la existencia de soluci\u00f3n de un sistema gen\u00e9rico de ecuaciones cuya forma engloba a los casos anteriores, as\u00ed como unos detalles espec\u00edficos de cada tipo de conexi\u00f3n, que abordamos en dos secciones consecutivas del cap\u00edtulo. Como final del cap\u00edtulo mostramos que, para ciertos valores del par\u00e1metro, aparecen dos tipos distintos de conexiones homoclinas directas as\u00ed como otros dos tipos de ciclos heteroclinos tipo punto-t.  el cap\u00edtulo cuarto se dedica al an\u00e1lisis de comportamientos peri\u00f3dicos y nos centramos fundamentalmente en el estudio de la configuraci\u00f3n conocida como bifurcaci\u00f3n noose (lazo), cuya aparici\u00f3n ya es conocida en el sistema de michelson diferenciable. Esta estructura del diagrama de bifurcaciones relaciona las dos bifurcaciones m\u00e1s b\u00e1sicas de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas (silla-nodo y duplicaci\u00f3n de periodo) de tal modo que la familia sufre, para un valor del par\u00e1metro, una bifurcaci\u00f3n de duplicaci\u00f3n de periodo y, posteriormente, ambas \u00f3rbitas (la original y la de periodo doble) desaparecen al colisionar en una bifurcaci\u00f3n silla-nodo. En el proceso que sigue la \u00f3rbita de periodo doble antes de llegar al pliegue podemos comprobar como una de las dos vueltas originales va disminuyendo progresivamente su tama\u00f1o hasta desaparecer, a medida que decrece el periodo. Este hecho, que en el sistema de michelson diferenciable no tiene casi ninguna relevancia en el estudio, es fundamental en la versi\u00f3n lineal a trozos, ya que involucra una tangencia transversal (c\u00fabica) de la \u00f3rbita peri\u00f3dica con el plano de separaci\u00f3n y esto fuerza a distinguir entre \u00f3rbitas que intersecan dos veces con el plano de separaci\u00f3n y \u00f3rbitas que lo hacen cuatro veces. La implicaci\u00f3n de este fen\u00f3meno en nuestro an\u00e1lisis es fundamental por dos motivos: por un lado, porque obliga a manejar distintas ecuaciones para cada tipo de \u00f3rbita y, por el otro, porque el punto de tangencia tiene algunas caracter\u00edsticas y propiedades que lo hacen tener un papel central en los diagramas de bifurcaci\u00f3n de las familias de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas.  cabe destacar que, en el cap\u00edtulo cuarto, llevamos a cabo una prueba anal\u00edtica de existencia de la familia de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas reversibles y de dos cortes con el plano de separaci\u00f3n que est\u00e1 involucrada en la bifurcaci\u00f3n lazo. Esta familia no se puede considerar como local (en el sentido de que se debe a una degeneraci\u00f3n de equilibrios y, por tanto, s\u00f3lo se puede estar seguro de su existencia en un entorno de la misma), sino que existe en todo un intervalo de valores del par\u00e1metro y termina en la tangencia transversal antes mencionada. Las t\u00e9cnicas utilizadas se basan en las ecuaciones e inecuaciones obtenidas a partir de las semiaplicaciones de poincar\u00e9. Para terminar el cap\u00edtulo usamos m\u00e9todos num\u00e9ricos para continuar la familia de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas reversibles de cuatro cortes que surge de la tangencia as\u00ed como para detectar y caracterizar las bifurcaciones principales que aparecen.  el algoritmo de continuaci\u00f3n num\u00e9rica desarrollado (basado en la pseudo-longitud de arco) nos sirve tambi\u00e9n para obtener las ramas principales de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas que surgen de cada una de las degeneraciones principales que se dan sobre el lazo, trabajo que abordamos en el cap\u00edtulo quinto. Esto permite observar que alguna de dichas ramas tiende, a medida que aumenta el periodo, a ciertas conexiones globales (alguna de ellas estudiada en el cap\u00edtulo tercero). Veremos tambi\u00e9n que, de modo gen\u00e9rico, todas estas familias pasan por tangencias de distinto tipo entre las \u00f3rbitas peri\u00f3dicas y el plano de separaci\u00f3n. Por ello, van ganando y perdiendo puntos de corte con dicho plano, as\u00ed que necesitamos desarrollar y manipular condiciones para \u00f3rbitas peri\u00f3dicas reversibles y no reversibles de dos, cuatro, seis y ocho cortes.  para terminar la memoria a\u00f1adimos unas l\u00edneas a modo de resumen, donde escribimos algunas conclusiones de nuestro an\u00e1lisis y, adem\u00e1s, planteamos algunos trabajos que se han abierto durante la investigaci\u00f3n y que ser\u00eda interesante considerar en el futuro.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00ab<strong>Conexiones globales y comportamientos peri\u00f3dicos en sistemas din\u00e1micos lineales a trozos<\/strong>\u00ab<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 Conexiones globales y comportamientos peri\u00f3dicos en sistemas din\u00e1micos lineales a trozos <\/li>\n<li><strong>Autor:<\/strong>\u00a0 Elisabeth Garc\u00eda Medina <\/li>\n<li><strong>Universidad:<\/strong>\u00a0 Sevilla<\/li>\n<li><strong>Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 22\/06\/2011<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>Director de la tesis<\/strong>\n<ul>\n<li>Victoriano Carmona Centeno<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Tribunal<\/strong>\n<ul>\n<li>Presidente del tribunal: emilio Freire mac\u00edas <\/li>\n<li>Santiago f. Ib\u00e1\u00f1ez mesa (vocal)<\/li>\n<li>Francisco Torres peral (vocal)<\/li>\n<li>Antonio Algaba dur\u00e1n (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tesis doctoral de Elisabeth Garc\u00eda Medina El objetivo primordial que nos planteamos en la memoria es utilizar las particularidades de [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-gradient":""}},"footnotes":""},"categories":[12585,10715],"tags":[59463,218867,50970,36982,191803,56270],"class_list":["post-109405","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ecuaciones-diferenciales-ordinarias","category-sevilla","tag-antonio-algaba-duran","tag-elisabeth-garcia-medina","tag-emilio-freire-macias","tag-francisco-torres-peral","tag-santiago-f-ibanez-mesa","tag-victoriano-carmona-centeno"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/109405","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=109405"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/109405\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=109405"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=109405"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=109405"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}