{"id":116794,"date":"2014-10-12T00:00:00","date_gmt":"2014-10-12T00:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/large-time-behavior-of-some-numerical-schemes-application-to-the-sonic-boom-phenomenon\/"},"modified":"2014-10-12T00:00:00","modified_gmt":"2014-10-12T00:00:00","slug":"large-time-behavior-of-some-numerical-schemes-application-to-the-sonic-boom-phenomenon","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/ecuaciones-diferenciales-en-derivadas-parciales\/large-time-behavior-of-some-numerical-schemes-application-to-the-sonic-boom-phenomenon\/","title":{"rendered":"Large-time behavior of some numerical schemes: application to the sonic-boom phenomenon"},"content":{"rendered":"

Tesis doctoral de Alejandro Pozo Pazos <\/strong><\/h2>\n

Hoy en d\u00eda, una de las mayores preocupaciones en la investigaci\u00f3n aeron\u00e1utica es el control y la reducci\u00f3n del sonido generado por las aeronaves. De hecho, uno de los principales objetivos de esta vasta e importante \u00e1rea de actividad industrial y comercial consiste en cumplir con las estrictas restricciones de ruido y dise\u00f1o para aviones supers\u00f3nicos. En particular, la minimizaci\u00f3n de la explosi\u00f3n s\u00f3nica generada por estas aeronaves es el punto clave para tener \u00e9xito en el desarrollo de transporte supers\u00f3nico civil eficiente.Como comprobamos en este trabajo, este tipo de asuntos requiere herramientas num\u00e9ricas que funcionen bien con problemas de evoluci\u00f3n con horizontes temporales lejanos. En esta tesis enfatizamos la necesidad de emplear esquemas de aproximaci\u00f3n num\u00e9rica que preserven las propiedades din\u00e1micas del sistema continuo en tiempos grandes. Aplicamos esto en el caso particular de la predicci\u00f3n y el control de la explosi\u00f3n s\u00f3nica, modelada por la ecuaci\u00f3n de burgers aumentada: en la que se tienen en cuenta efectos no lineales, adem\u00e1s de diversos fen\u00f3menos producidos en la propagaci\u00f3n por la atm\u00f3sfera.A continuaci\u00f3n describimos los aspectos m\u00e1s importantes de cada uno los temas tratados en esta tesis, los resultados obtenidos y los m\u00e9todos que para tal efecto hemos desarrollado, basados en los art\u00edculos [1,2,3,4].1.\tViscosidad evanescente en esquemas num\u00e9ricoses bien conocida la diferencia significativa existente entre la ecuaci\u00f3n de burgers viscosa y su versi\u00f3n no viscosa en lo que respecta al comportamiento en tiempos grandes de sus soluciones. El principal resultado del cap\u00edtulo 2, basado en el art\u00edculo [4], afirma que lo mismo puede suceder a la hora de aproximar la ecuaci\u00f3n de burgers no viscosa mediante esquemas num\u00e9ricos. Esto no es sorprendente, ya que, como es bien sabido, los esquemas num\u00e9ricos convergentes introducen cierto grado de viscosidad num\u00e9rica. Nuestro an\u00e1lisis permite clasificar los esquemas num\u00e9ricos en aquellos que, cuando el tiempo tiende a infinito, introducen una cantidad de viscosidad num\u00e9rica insignificante \u00c2\u00bfy que, por tanto, conducen al comportamiento asint\u00f3tico correcto descrito por las n-waves\u00c2\u00bf y aquellos que introducen demasiada viscosidad num\u00e9rica \u00c2\u00bfdirigi\u00e9ndose, por ello, hacia perfiles auto-semejantes viscosos\u00c2\u00bf\u00c2\u00ac.Como veremos, los esquemas de engquist-osher y godunov pertenecen a la primera categor\u00eda, mientras que el cl\u00e1sico esquema de lax-friedrichs encaja en el segundo. Resumiendo, podemos decir que las soluciones de los esquemas de engquist-osher y godunov, para una malla fijada, capturan la din\u00e1mica hiperb\u00f3lica del sistema continuo. Por el contrario, el esquema de lax-friedrichs, debido a la cantidad excesiva de viscosidad num\u00e9rica, lleva a un comportamiento asint\u00f3tico incorrecto, de naturaleza viscosa y no hiperb\u00f3lica. N\u00f3tese que, a pesar de que nuestro an\u00e1lisis se reduce a la ecuaci\u00f3n de burgers no viscosa, se pueden generalizar las mismas conclusiones a la aproximaci\u00f3n num\u00e9rica de leyes de conservaci\u00f3n viscosas en las que la cantidad de viscosidad efectiva, cuando tiende a infinito, dependa significativamente de la naturaleza del esquema num\u00e9rico considerado.El principal objetivo del cap\u00edtulo 2 es analizar, una vez fijados y , el comportamiento asint\u00f3tico de estas soluciones discretas cuando . Por supuesto, estamos interesados en esquemas num\u00e9ricos que convergen a la soluci\u00f3n entr\u00f3pica y en par\u00e1metros de la malla que satisfagan la correspondiente condici\u00f3n de cfl. Nuestro an\u00e1lisis se centra, sobre todo, en los esquemas num\u00e9ricos de lax-friedrichs, engquist-osher y godunov, que son conservativos y conocidos por verificar la condici\u00f3n de lipschitz unilateral, que es necesaria para establecer las propiedades de decaimiento cuando el tiempo discreto tiende a infinito.Para ser m\u00e1s precisos, consideremos que es una aproximaci\u00f3n del dato inicial; por ejemplo, definimos tambi\u00e9n una funci\u00f3n contante a trozos , que toma valores en , como donde y se calcula mediante el esquema aqu\u00ed es el flujo num\u00e9rico, una aproximaci\u00f3n del flujo continuo mediante una funci\u00f3n continua (en nuestros resultados, los de engquist-osher, godunov y lax-friedrichs, que toman ). El siguiente teorema es el principal resultado del cap\u00edtulo 2.Teorema 1. Sean y y par\u00e1metros de la malla satisfaciendo la condici\u00f3n de cfl , . Sea la correspondiente soluci\u00f3n del esquema discreto para la ecuaci\u00f3n de burgers no viscosa. Entonces, para cualquier , se cumple que donde el perfil es el siguiente:1.\tPara el esquema de lax-friedrichs, es la \u00fanica soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de burgers viscosa dada por donde .2.\tPara los esquemas de engquist-osher y godunov, es la \u00fanica soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de burgers hiperb\u00f3lica dada por con y para probar este teorema usamos argumentos de escala, similares a los aplicados en las demostraciones de los an\u00e1logos continuos. Adem\u00e1s, tambi\u00e9n introducimos las variables semejantes, que son una herramienta com\u00fan en el an\u00e1lisis del comportamiento asint\u00f3tico de ecuaciones en derivadas parciales. Esto nos permitir\u00e1 observar de manera m\u00e1s clara algunos de los fen\u00f3menos mencionados.2.\tControl \u00f3ptimo en horizontes lejanosen el cap\u00edtulo 3, bas\u00e1ndonos en el art\u00edculo [1], analizamos la aproximaci\u00f3n num\u00e9rica del problema del dise\u00f1o inverso para la ecuaci\u00f3n de burgers, tanto para el caso viscoso como para el no viscoso, siendo y respectivamente. Al igual que sucede en el problema de la minimizaci\u00f3n de la explosi\u00f3n s\u00f3nica, dados un tiempo y una funci\u00f3n objetivo , el prop\u00f3sito es identificar el dato inicial de manera que su correspondiente soluci\u00f3n alcance el objetivo en o, al menos, se acerque lo m\u00e1ximo posible.Esencialmente, la cuesti\u00f3n consiste en resolver hacia atr\u00e1s la ecuaci\u00f3n de burgers, un problema que est\u00e1 mal puesto. En el caso viscoso , eso se debe a la fuerte irreversibilidad en tiempo intr\u00ednseca de la ecuaci\u00f3n de burgers parab\u00f3lica, que se ve realzada por los fen\u00f3menos no lineales de la din\u00e1mica hiperb\u00f3lica. En el caso hiperb\u00f3lico no viscoso, la no linealidad del modelo, que produce la aparici\u00f3n de discontinuidades, hace que el problema tambi\u00e9n est\u00e9 mal puesto, teniendo adem\u00e1s m\u00faltiples soluciones en algunos casos.Formulamos el problema desde el punto de vista del control \u00f3ptimo. Usando un enfoque de m\u00ednimos cuadrados, consideramos la minimizaci\u00f3n del siguiente funcional: donde es la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de burgers y el dato inicial forma parte de una clase de funciones adecuada, como por ejemplo .Este problema de control \u00f3ptimo surge de manera natural como una versi\u00f3n simplificada del modelo completo de la explosi\u00f3n s\u00f3nica. Uno de los ingredientes principales es que el horizonte temporal considerado tiene que ser grande, por motivos pr\u00e1cticos. Como vemos, esto hace que la elecci\u00f3n del esquema num\u00e9rico que aproxime la edp sea una cuesti\u00f3n delicada, dado que los esquemas que no reproducen correctamente la din\u00e1mica de tiempos grandes son incapaces de producir una aproximaci\u00f3n precisa del control \u00f3ptimo. Tal y como mencion\u00e1bamos anteriormente, la dicotom\u00eda parab\u00f3lica\/hiperb\u00f3lica asint\u00f3tica ha de ser tratada cuidadosamente. En particular, el exceso de viscosidad num\u00e9rica podr\u00eda destruir la din\u00e1mica hiperb\u00f3lica y hacerla parab\u00f3lica. El an\u00e1lisis del cap\u00edtulo 2 se lleva a cabo en un contexto puramente hiperb\u00f3lico; pero dicha patolog\u00eda tambi\u00e9n puede aparecer en el caso de la ecuaci\u00f3n de burgers no viscosa cuando la viscosidad num\u00e9rica domina a la f\u00edsica.En este trabajo enfatizamos las consecuencias de este hecho a nivel del dise\u00f1o inverso. Para ello empleamos un m\u00e9todo de gradiente descendente junto con la metodolog\u00eda del adjunto. Tambi\u00e9n utilizamos ipopt, un paquete inform\u00e1tico de libre distribuci\u00f3n para optimizaci\u00f3n no lineal, como soporte para nuestros resultados. No obstante, n\u00f3tese que la dicotom\u00eda del comportamiento en tiempos grandes puede extenderse a otros m\u00e9todos num\u00e9ricos.Nuestros resultados constituyen una advertencia importante sobre la necesidad de emplear esquemas de aproximaci\u00f3n num\u00e9rica, capaces de imitar las propiedades din\u00e1micas de tiempos grandes del sistema, a la hora de resolver problemas de dise\u00f1o inverso y control \u00f3ptimo en horizontes temporales lejanos. Esto ya fue observado previamente en problemas de control para la propagaci\u00f3n de ondas, siendo interesante ver que las mismas patolog\u00edas persisten en el problema del dise\u00f1o inverso para flujos viscosos y no viscosos, aparentemente m\u00e1s robusto.3.\tEsquemas num\u00e9ricos que preservan el comportamiento en tiempos grandes de la abeel cap\u00edtulo 4 est\u00e1 dedicado a la ecuaci\u00f3n de burgers aumentada con par\u00e1metros constantes y un \u00fanico proceso de relajaci\u00f3n molecular. Nos centramos en la siguiente ecuaci\u00f3n: donde denota la convoluci\u00f3n en la variable , los par\u00e1metros son positivos y . Este cap\u00edtulo se basa en los resultados del art\u00edculo [2].Las mismas patolog\u00edas que analizamos en los cap\u00edtulos 2 y 3 aparecen tambi\u00e9n en el contexto de la ecuaci\u00f3n de burgers aumentada. Valores peque\u00f1os de y necesitan un tratamiento similar desde el punto de vista num\u00e9rico, como si la ecuaci\u00f3n fuera hiperb\u00f3lica. Por tanto, en el cap\u00edtulo 4 estudiamos el comportamiento asint\u00f3tico de las soluciones de esta ecuaci\u00f3n cuanto y desarrollamos un esquema num\u00e9rico semi-discreto que preserva tal comportamiento.En lo que concierne al comportamiento de las soluciones del sistema en tiempos grandes, el teorema siguiente contiene el principal resultado:teorema 2. Sea . Para cualquier , la soluci\u00f3n satisface donde es la soluci\u00f3n de la siguiente ecuaci\u00f3n: aqu\u00ed indica la delta de dirac en el origen y es la masa del dato inicial, .Nuevamente, esto es particularmente importante a nivel num\u00e9rico. Por un lado, al elegir el flujo num\u00e9rico que discretice la no linealidad, necesitamos tener cuidado con la viscosidad num\u00e9rica que introducimos. Por otro lado, hemos de tratar con cuidado el truncamiento del t\u00e9rmino integral, de manera que no introduzcamos patolog\u00edas no deseadas en el comportamiento asint\u00f3tico de la soluci\u00f3n num\u00e9rica. En ese sentido, nosotros proponemos dos factores correctores.Sea una aproximaci\u00f3n de la soluci\u00f3n . Definimos esta funci\u00f3n constante a trozos (a diferencia del cap\u00edtulo 2, ahora solamente en el espacio) como sigue: donde , para todo , y es el tama\u00f1o de malla dado. Para cada , necesitamos calcular una funci\u00f3n que aproxime el valor de la soluci\u00f3n en la celda. Teniendo en cuenta la problem\u00e1tica descrita anteriormente, optamos por la siguiente discretizaci\u00f3n: el esquema engquist-osher para el flujo, diferencias finitas centradas para el laplaciano y la regla del rect\u00e1ngulo compuesta para la integral: donde y el par\u00e1metro se\u00f1ala el n\u00famero de nodos considerados en la f\u00f3rmula de cuadratura de la integral. Los factores correctores y que aparecen junto con las aproximaciones de los t\u00e9rminos y , dados por sirven para que el truncamiento del t\u00e9rmino no local sea correcto desde el punto de vista del comportamiento en tiempos grandes.Finalmente, para fijo, estudiamos el comportamiento asint\u00f3tico de estas soluciones semi-discretas cuando .Teorema 3. Sea , and la correspondiente soluci\u00f3n del esquema semi-discreto. Para cualquier , se verifica lo siguiente: donde es la \u00fanica soluci\u00f3n de la siguiente ecuaci\u00f3n de burgers viscosa: aqu\u00ed es la masa del dato inicial y obs\u00e9rvese que, para un , si se toma de manera que y cuando . Esos son, de hecho, los valores que uno debiera esperar por el modelo continuo.4.\tSeparaci\u00f3n de operadores para la aberesolver el esquema anterior puede ser costoso computacionalmente si es grande. Por tanto, en el cap\u00edtulo 5 establecemos el marco para fortalecer el uso de m\u00e9todos de separaci\u00f3n de operadores para resolver la ecuaci\u00f3n de burgers aumentada \u00c2\u00bft\u00e9cnicas que ya han sido empleadas en el contexto del fen\u00f3meno de la explosi\u00f3n s\u00f3nica\u00c2\u00bf, bas\u00e1ndonos en el art\u00edculo [3].Presentamos la siguiente f\u00f3rmula de trotter para la ecuaci\u00f3n de burgers aumentada. A fin de mantener una notaci\u00f3n clara, analizaremos \u00fanicamente el caso , pero los resultados obtenidos se pueden extender f\u00e1cilmente al caso general. Sea el operador de evoluci\u00f3n asociado a e , el correspondiente a consideramos el flujo definido por\t . El objetivo es aproximar la soluci\u00f3n $u$ mediante donde y . Recordemos que y para cada .El primer resultado del cap\u00edtulo 5, que confirma que la separaci\u00f3n de operadores propuesta es de primer orden para soluciones suficientemente regulares, es el siguiente.Teorema 4. Sea . Para todo y todo , existen constantes positivas , y tales que, para todo y para todo tal que , y aqu\u00ed , y solamente dependen de y de .Adem\u00e1s, siguiendo t\u00e9cnicas parecidas a las empleadas en el cap\u00edtulo 4, obtenemos el primer t\u00e9rmino de la expansi\u00f3n asint\u00f3tica de la soluci\u00f3n dada por el operador . Definimos la funci\u00f3n como sea . Si definimos la funci\u00f3n (cuyo valor es 1 si est\u00e1 en y 0 en caso contrario), queda claro que el sistema anterior puede ser escrito de la siguiente forma: formalmente cuando . Adem\u00e1s, el comportamiento de cuando se deduce mediante un argumento de escala y se enuncia a continuaci\u00f3n.Teorema 5. Para cualquier y , ,\tdonde es el perfil auto-semejante de la siguiente ecuaci\u00f3n de burgers viscosa: obs\u00e9rvese, que este es, precisamente, el comportamiento asint\u00f3tico en tiempos grandes de la soluci\u00f3n del sistema continuo.Referencias[1]\tn. Allahverdi, a. Pozo and e. Zuazua, numerical aspects of large-time optimal control of burgers equation, submitted.[2]\tl. I. Ignat y a. Pozo, a semi-discrete large-time behavior preserving scheme for the augmented burgers equation, submitted.[3]\tl. I. Ignat y a. Pozo, a splitting method for the augmented burgers equation, preprint.[4]\tl. I. Ignat, a. Pozo y e. Zuazua, large-time asymptotics, vanishing viscosity and numerics for 1-d scalar conservation laws, to appear in mathematics of computation.<\/p>\n

 <\/p>\n

Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00abLarge-time behavior of some numerical schemes: application to the sonic-boom phenomenon<\/strong>\u00ab<\/h3>\n
    \n
  • T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 Large-time behavior of some numerical schemes: application to the sonic-boom phenomenon <\/li>\n
  • Autor:<\/strong>\u00a0 Alejandro Pozo Pazos <\/li>\n
  • Universidad:<\/strong>\u00a0 Pa\u00eds vasco\/euskal herriko unibertsitatea<\/li>\n
  • Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 10\/12\/2014<\/li>\n<\/ul>\n

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    Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n
      \n
    • Director de la tesis<\/strong>\n
        \n
      • Enrique Zuazua Iriondo<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
      • Tribunal<\/strong>\n
          \n
        • Presidente del tribunal: julian Aguirre estibalez <\/li>\n
        • alessio Porretta — (vocal)<\/li>\n
        • Carlos Manuel Castro barbero (vocal)<\/li>\n
        • bruno Despres — (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n

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