{"id":67159,"date":"2018-03-09T22:55:30","date_gmt":"2018-03-09T22:55:30","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/analisis-numerico-de-esquemas-fraccionados-en-tiempo-para-navier-stokes-3d-y-ecuaciones-primitivas\/"},"modified":"2018-03-09T22:55:30","modified_gmt":"2018-03-09T22:55:30","slug":"analisis-numerico-de-esquemas-fraccionados-en-tiempo-para-navier-stokes-3d-y-ecuaciones-primitivas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/analisis-numerico\/analisis-numerico-de-esquemas-fraccionados-en-tiempo-para-navier-stokes-3d-y-ecuaciones-primitivas\/","title":{"rendered":"An\u00e1lisis num\u00e9rico de esquemas fraccionados en tiempo para  navier-stokes 3d y ecuaciones primitivas"},"content":{"rendered":"<h2>Tesis doctoral de <strong> Mar\u00eda Victoria Redondo Neble <\/strong><\/h2>\n<p>En esta memoria nos centramos en el an\u00e1lisis num\u00e9rico de dos  m\u00e9todos: el m\u00e9todo de descomposici\u00f3n de la viscosidad y el m\u00e9todo de segregaci\u00f3n de presi\u00f3n basado en un m\u00e9todo de proyecci\u00f3n incremental, aplicados a dos problemas:  las ecuaciones de navier-stokes incompresibles y  las ecuaciones primitivas.   respecto al problema de navier-stokes,  mejoramos las  estimaciones de error obtenidas para el esquema  con descomposici\u00f3n de la viscosidad introducido y estudiado por  blasco y  codina.  \u00e9ste es un esquema a dos pasos que separa la no linealidad y la incompresibilidad del problema  en pasos diferentes, pero conservando el t\u00e9rmino de viscosidad y las  condiciones de contorno para la velocidad  en ambos pasos  (primero se calcula una velocidad intermedia ${_x0008_f u}^{m+1\/2}$ como una primera aproximaci\u00f3n de  la soluci\u00f3n ${_x0008_f u}(t_{m+1})$%  y resolviendo un % problema de convecci\u00f3n-difusi\u00f3n   y despu\u00e9s $({_x0008_f u}^{m+1},p^{m+1})$ como aproximaci\u00f3n de  $({_x0008_f u}(t_{m+1}),p(t_{m+1}))$.%  Resolviendo un problema de tipo stokes. la convergencia de las velocidades   es obtenida por blasco, codina y  huerta, quienes obtuvieron adem\u00e1s  % $l^{infty}({_x0008_f l^2}) cap l^2 ({_x0008_f h}^1) $ y posteriormente, % aplicando resultados de compacidad para &#8216;controlar&#8217; el l\u00edmite de % los t\u00e9rminos convectivos, un paso al l\u00edmite  conduce a la % convergencia. Por otro lado,  en cite{bc2} los autores obtuvieron estimaciones de error  de orden   $o(k)$ en $l^2 ({_x0008_f h}^1)cap l^{infty}({_x0008_f l}^2)$ para la velocidad final  ${_x0008_f u}^{m+1}$ y orden  $o(k^{1\/2})$ en $l^2(l^2)$ para la presi\u00f3n. Estas estimaciones en tiempo fueron  usadas % encite{bc-cedya}  para obtener  estimaciones de error para un esquema totalmente discreto (con  soluciones     ${_x0008_f u}_h^{m+1\/2}$ y $({_x0008_f u}_h^{m+1},p_h^{m+1})$), basada en una aproximaci\u00f3n de elementos finitos de orden $o(h)$ en ${_x0008_f h}^1$ y orden $o(h^2)$ en  ${_x0008_f   l}^2$ para las velocidades y  $o(h)$ en  $l^2$ para la presi\u00f3n, llegando a: $ |{_x0008_f u}(t_m) -{_x0008_f u}_h^m | _{l^{infty}(l^2) cap l^2 (h^1)} le c, (k+h) $, bajo la restricci\u00f3n $h^2 le c, k$. Adem\u00e1s,  se realizaron c\u00e1lculos num\u00e9ricos, que conduc\u00edan a orden  $o(k)$ tanto en velocidad como en presi\u00f3n. % en esta memoria pretendemos rellenar el salto existente entre el an\u00e1lisis num\u00e9rico (en % donde se ten\u00eda $o(sqrt{k})$ para la presi\u00f3n) y los c\u00e1lculos % num\u00e9ricos (en los que se observa orden $o(k)$) respecto a la % aproximaci\u00f3n en tiempo para la presi\u00f3n. otros estudios han sido realizados con esquemas en tiempo   de descomposici\u00f3n de la viscosidad obteniendo  tambi\u00e9n, en el caso totalmente discreto, %  es estudiado junto con varios m\u00e9todos de elementos finitos  de %  galerkin discontinuos en espacio, obteniendo  estimaciones  suboptimales en el an\u00e1lisis num\u00e9rico y  observando  resultados  num\u00e9ricos con orden \u00f3ptimo. en la presente memoria rellenamos estos saltos  demostrando que   anal\u00edticamente   se obtienen los resultados observados  en los experimentos num\u00e9ricos.    as\u00ed, para el esquema semidiscreto en tiempo,    mejoramos el orden de la estimaci\u00f3n de error para la presi\u00f3n,  de $o(sqrt{k})$  a $o(k)$  y mejoramos la norma de las estimaciones de error en velocidad y   presi\u00f3n, pasando de  $l^{infty}({_x0008_f l}^2)$ a  $l^{infty}({_x0008_f   h}^1)$ en velocidad y de  $l^{2}(l^2)$ a $l^{infty}(l^2)$ en presi\u00f3n.  posteriormente,   usamos  este esquema semidiscreto en tiempo como un problema auxiliar, para obtener las estimaciones en  el esquema   totalmente discreto con elementos finitos,   extendiendo el orden  en velocidad y   presi\u00f3n, de $o(k)$  a $o(k+h)$ y mejorando  el orden   en la estimaci\u00f3n de  error para la velocidad en  norma  $l^2({_x0008_f l}^2)$, de $o(k+h)$ a $o(k+h^2)$. juntando estos dos pasos anteriores y  bajo la restricci\u00f3n sobre los par\u00e1metros de tiempo $k$ y espacio $h$,  $h^2 le c, k$,   obtendremos las  estimaciones \u00f3ptimas de error para los errores totales.  posteriormente,  aproximamos el problema de navier-stokes  con un esquema  de segregaci\u00f3n de la presi\u00f3n inspirado en un m\u00e9todo de proyecci\u00f3n con presi\u00f3n incremental.  Para el m\u00e9todo de proyecci\u00f3n  no incremental, shen obtiene estimaciones de orden  $o(k^{1\/2})$ en $l^2({_x0008_f h}^1)cap l^{infty}({_x0008_f l}^2)$ y de orden  $o(k)$ en $l^2({_x0008_f l}^2)$ para ambas velocidades y de orden $o(k^{1\/2})$ en $l^2(l^2)$ para la presi\u00f3n y, para el m\u00e9todo de  proyecci\u00f3n incremental,  estas estimaciones son mejoradas por guermond y quartapelle a orden $o(k+h)$ en $l^2({_x0008_f h}^1)cap l^{infty}({_x0008_f l}^2)$ para la velocidad intermedia  y a orden  $o(k+h)$ en $l^2(l^2)$  para la presi\u00f3n, considerando una  aproximaci\u00f3n en espacio de elementos finitos  basada en una formulaci\u00f3n mixta velocidad-presi\u00f3n  y obteniendo las estimaciones  bajo la restricci\u00f3n de los par\u00e1metros $k^2le alpha ,h  $ (en el caso tridimensional). En la presente memoria, obtenemos  tambi\u00e9n  estimaciones \u00f3ptimas de error, % :  % $ |{_x0008_f u}(t_m) -{_x0008_f u}_h^m |_{l^{infty}(h^1)} +  |p(t_m) &#8211; p_h^m |_{ l^{infty} (l^2)} % le c, (k+h) $, pero usando un esquema    totalmente discreto desacoplado para los problemas de la velocidad y    presi\u00f3n  e imponiendo      una restricci\u00f3n diferente, concretamente $h le alpha, k$.   respecto a las ecuaciones primitivas, hacemos un an\u00e1lisis num\u00e9rico con los mismos  esquemas que hemos usado  para abordar el problema de navier-stokes.  ahora, la pro-ble-m\u00e1-ti-ca fundamental  es la p\u00e9rdida de regularidad de la velocidad vertical. As\u00ed, el uso de estimaciones anis\u00f3tropas,  la suposici\u00f3n de soluciones m\u00e1s regulares y restricciones de distinto tipo nos aparecer\u00e1n ahora.  en el caso del m\u00e9todo de descomposici\u00f3n de la viscosidad,  no podremos hacer un razonamiento como el que hemos realizado para el caso de navier-stokes,  ya que no es posible utilizar el problema semidiscreto en tiempo como  problema auxiliar para la obtenci\u00f3n de las  estimaciones de los errores totales. debemos en este caso comparar la soluci\u00f3n exacta directamente con un esquema totalmente discreto. Se dise\u00f1a entonces  un esquema num\u00e9rico  sobre una formulaci\u00f3n diferencial del problema de ecuaciones primitivas basado en un esquema de descomposici\u00f3n de la viscosidad en tiempo y una aproximaci\u00f3n espacial de elementos finitos sobre una malla no estructurada en general, obteniendo estabilidad y convergencia, cuando $(k,h)\to 0$, hacia una soluci\u00f3n d\u00e9bil  y estimaciones de error respecto de una soluci\u00f3n suficientemente regular, concretamente    para  $l=1,2$ (donde $l$ es el orden de aproximaci\u00f3n de los elementos finitos), estimaciones de error de orden $o(sqrt{k}+h^l)$ para las velocidades ${_x0008_f u}_h^{m+1\/2}$ y ${_x0008_f u}_h^{m+1}$, estimaciones  mejoradas (de orden $o(k+h^l)$) para la velocidad final ${_x0008_f u}_h^{m+1}$ y estimaciones   $o(sqrt{k}+h^l)$ para la derivada discreta de la velocidad final en $l^2 ({_x0008_f l}^2)$, que conducen a estimaciones  de orden $o(sqrt{k}+h^l)$ para la presi\u00f3n. seguidamente, s\u00f3lo para $l=2$, obtendremos estimaciones  de orden $o(sqrt{k}+h^2)$ para las derivadas discretas de las velocidades ${_x0008_f u}_h^{m+1\/2}$ y ${_x0008_f u}_h^{m+1}$ y estimaciones mejoradas (de orden  $o(k+h^2)$) para la derivada discreta de la velocidad final ${_x0008_f u}_h^{m+1}$, que conducen a estimaciones   de orden $o(k+h^2)$ para la presi\u00f3n. finalmente, considerando una espec\u00edfica malla estructurada en vertical, obtendremos estimaciones de error de orden $o(k+h^{l+1})$ para la velocidad final ${_x0008_f u}_h^{m+1}$ en $l^2 ({_x0008_f l}^2)$. Como consecuencia de este resultado, podremos ahora obtener estimaciones de error de orden $o(k+h)$ la presi\u00f3n en $l^2( l^2)$ en el caso $l=1$.  finalmente,  para el esquema semidiscreto en tiempo de proyecci\u00f3n incremental   usado para aproximar el problema de ecuaciones primitivas sobre un formulaci\u00f3n \u00edntegro-diferencial,  s\u00ed podremos obtener estimaciones de error \u00f3ptimas  ($o(k)$ para las velocidades, las derivadas discretas de las  velocidades y  la presi\u00f3n), que pueden servir como etapa intermedia para la obtenci\u00f3n de las estimaciones de los errores totales.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00ab<strong>An\u00e1lisis num\u00e9rico de esquemas fraccionados en tiempo para  navier-stokes 3d y ecuaciones primitivas<\/strong>\u00ab<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 An\u00e1lisis num\u00e9rico de esquemas fraccionados en tiempo para  navier-stokes 3d y ecuaciones primitivas <\/li>\n<li><strong>Autor:<\/strong>\u00a0 Mar\u00eda Victoria Redondo Neble <\/li>\n<li><strong>Universidad:<\/strong>\u00a0 Sevilla<\/li>\n<li><strong>Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 26\/09\/2008<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>Director de la tesis<\/strong>\n<ul>\n<li>Francisco Manuel Guillen Gonzalez<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Tribunal<\/strong>\n<ul>\n<li>Presidente del tribunal: rodolfo Bermejo bermejo <\/li>\n<li>mercedes Marin beltran (vocal)<\/li>\n<li>Francisco Ortegon gallego (vocal)<\/li>\n<li>Jorge Blasco lorente (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tesis doctoral de Mar\u00eda Victoria Redondo Neble En esta memoria nos centramos en el an\u00e1lisis num\u00e9rico de dos m\u00e9todos: el [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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