{"id":67997,"date":"2018-03-09T22:56:26","date_gmt":"2018-03-09T22:56:26","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/aplicaciones-del-plano-con-un-punto-fijo-de-atraccion-global\/"},"modified":"2018-03-09T22:56:26","modified_gmt":"2018-03-09T22:56:26","slug":"aplicaciones-del-plano-con-un-punto-fijo-de-atraccion-global","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/matematicas\/aplicaciones-del-plano-con-un-punto-fijo-de-atraccion-global\/","title":{"rendered":"Aplicaciones del plano con un punto fijo de atracci\u00f3n global"},"content":{"rendered":"

Tesis doctoral de Bego\u00f1a Alarc\u00f3n Cotillas <\/strong><\/h2>\n

El estudio de esta memoria ha sido motivado por preguntas relativas a la estabilidad global de un punto fijo de una aplicaci\u00f3n definida en $ ^n$ . Muchos matem\u00e1ticos han abordado este problema relacion\u00e1ndolo con lo ya existente para campos vectoriales que definen un sistema continuo.Par _x0008_igskip nosotros nos preguntaremos por condiciones necesarias para garantizar la atracci\u00f3n global de un punto fijo de una aplicaci\u00f3n inyectiva de clase $c^1$ definida en el plano. El origen del estudio se inspira en la siguiente conjetura: _x0008_igskip oindent emph{conjetura dmy (discreta de markus-yamabe):} sea $f: ^n ightarrow ^n$ una aplicaci\u00f3n de clase $c^1$ tal que $f(0)=0$ y todos los valores propios de la matriz diferencial de $f$ en cada punto tienen norma menor que uno. \u00c2\u00bfes el $0$ un atractor global del sistema discreto generado por $f$?. _x0008_igskip la conjetura dmy se inspir\u00f3 a su vez en su primera versi\u00f3n para campos vectoriales a la que se le llam\u00f3 conjetura de markus-yamabe: _x0008_igskip oindent emph{conjetura de markus-yamabe:} sea $x: ^n ightarrow ^n$ un campo vectorial de clase $c^1$ tal que $x(0)=0$. Si para todo $pin ^n$ la parte real de todos los valores propios de la matriz diferencial de $x$ en $p$ es negativa. \u00c2\u00bfes el origen un atractor global del sistema continuo dado por $x$? _x0008_igskip el trabajo pionero de c. Olech y tambi\u00e9n el de markus yamabe muestran la existencia de una fuerte relaci\u00f3n entre comportamiento asint\u00f3tico global de un campo vectorial $x:mathbb{r}^2 ightarrow mathbb{r}^2$ y la inyectividad de $x$ (considerado como una aplicaci\u00f3n). Esta conexi\u00f3n fue estudiada y desarrollada en numerosas publicaciones. Nosotros veremos en esta memoria que la inyectividad tambi\u00e9n juega un papel importante a la hora de estudiar la din\u00e1mica global de una aplicaci\u00f3n cualquiera de clase $c^1$. Par _x0008_igskip como se detallar\u00e1 en esta memoria, salvo en el caso de aplicaciones triangulares, la conjetura dmy \u00fanicamente es cierta en dimensi\u00f3n $1$ y para difeomorfismos polinomiales definidos en el plano. Por ello cabe preguntarse por la din\u00e1mica de las aplicaciones del plano para las que el origen no es un atractor global pese a que verifican las condiciones de la conjetura dmy.Par _x0008_igskip el objetivo de esta memoria es dar respuesta al problema dmy o conjetura discreta de markus yamabe en dimensi\u00f3n $2$ con hip\u00f3tesis adicionales. La hip\u00f3tesis natural despu\u00e9s de estudiar el contraejemplo de szlenk al caso racional, es la siguiente: _x0008_egin{itemize} item[(a)] $f$ es disipativa. end{itemize} esta hip\u00f3tesis adicional no es todav\u00eda suficiente para generalizar el problema dmy como se mostrar\u00e1 en esta memoria. Probaremos la existencia de un difeomorfismo suave $f: ^2 ightarrow ^2$ que tiene una \u00f3rbita peri\u00f3dica de per\u00edodo cuatro. No obstante, el $infty$ es un repulsor, $f(0)=0$ y $spec(f)subset b(0,1)$.Par _x0008_igskip dado que el inconveniente es la aparici\u00f3n de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas, el siguiente paso es el estudio del caso en el que no existan. veremos que si el espectro de una aplicaci\u00f3n diferenciable que fija el origen no intersecta al intervalo $[1, 1+varepsilon)$ para un $varepsilon>0$, entonces la aplicaci\u00f3n no tiene puntos fijos salvo el origen. Usando esa misma t\u00e9cnica, probaremos que si la diferencial de la aplicaci\u00f3n no tiene valores propios reales entonces tampoco tiene \u00f3rbitas peri\u00f3dicas de per\u00edodo $2$. Adem\u00e1s tambi\u00e9n daremos condiciones que prueben que, si la aplicaci\u00f3n tiene valores propios reales dobles, no es una homotecia y el $1$ no est\u00e1 incluido en el espectro de la aplicaci\u00f3n, entonces tampoco tiene \u00f3rbitas peri\u00f3dicas de per\u00edodos mayores. Lo demostraremos usando las propiedades de un homeomorfismo definido en la circunferencia dado por la variaci\u00f3n del \u00e1ngulo del sistema linealizado. Relacionaremos los iterados de la aplicaci\u00f3n con la composici\u00f3n de estos homeomorfismos. Tambi\u00e9n la existencia de valores propios imaginarios, reales positivos o negativos vendr\u00e1n determinados por los valores que toman estos homeomorfismos en el intervalo $[0,2pi)$.Par _x0008_igskip es definitiva, construiremos una familia de aplicaciones del plano para las que no aparecen m\u00e1s puntos fijos ni \u00f3rbitas peri\u00f3dicas que no sean la del origen. No obstante, daremos un ejemplo de un difeomorfismo del plano de clase $c^1$ que verifica las hip\u00f3tesis de la conjetura dmy, el infinito es un repulsor, no tiene \u00f3rbitas peri\u00f3dicas ni puntos fijos salvo el $0$ y el origen sigue sin ser atractor global.Par medskip llegados a este punto, es f\u00e1cil ver que la din\u00e1mica de una aplicaci\u00f3n de la familia de la conjetura dmy no se pude determinar incluso imponiendo que el infinito sea repulsor ni eliminando la existencia de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas. Por lo que tienen que aparecer fen\u00f3menos m\u00e1s extra\u00f1os. Esto nos induce a preguntarnos por las propiedades de un difeomorfismo $f$ definido en $ ^2$ que ya tenga el origen como punto fijo de atracci\u00f3n asint\u00f3tica global. probaremos que existe una $c^r-$foliaci\u00f3n de $mathbb{r}^2setminus {0}$ por curvas invariantes con ciertas propiedades a las que llamaremos rayos $f-$invariantes. Por esta raz\u00f3n la segunda hip\u00f3tesis que se introduce en la conjetura dmy es la siguiente: _x0008_egin{itemize} item[(b)] existe un rayo $f-$invariante. end{itemize} tiene sentido porque, si el infinito es un repulsor, la existencia de un rayo invariante nos dice que el origen est\u00e1 en la variedad inestable del infinito y ambas hip\u00f3tesis nos deber\u00edan permitir generalizar el problema. _x0008_igskip en esta memoria estudiaremos el problema dmy con las hip\u00f3tesis adicionales: la aplicaci\u00f3n es inyectiva, es disipativa (o equivalentemente el infinito es un repulsor) y existe un rayo invariante por la aplicaci\u00f3n.Par _x0008_igskip en cuanto a resultados concretos, la primera pregunta que se aborda en esta memoria es relativa a la existencia de un \u00fanico punto fijo. La segunda se refiere a la existencia de otros puntos no errantes como las \u00f3rbitas peri\u00f3dicas. La tercera es el $omega-$l\u00edmite de todos los puntos del plano. Por lo tanto, la estrategia a seguir es la siguiente: par _x0008_igskip sea $f$ un embebimiento de clase $c^1$ verificando las condiciones de la conjetura dmy. Para conseguir que el $0$ sea un atractor global del sistema en primer lugar probaremos que, debido a la condici\u00f3n sobre el espectro de la aplicaci\u00f3n, el origen es el \u00fanico punto fijo y adem\u00e1s es asint\u00f3ticamente estable. Despu\u00e9s probaremos junto con la hip\u00f3tesis adicional $(b)$ que el conjunto de puntos no errantes de la aplicaci\u00f3n es exactamente el conjunto unitario de puntos fijos. De esta manera centraremos nuestra atenci\u00f3n en la \u00f3rbita positiva de un punto cualquiera del plano, es decir la sucesi\u00f3n ${f^n(p)}_{nin }$ con $pin ^2$. Si se verifica $(a)$ obtenemos que la sucesi\u00f3n es convergente y por tanto \u00fanicamente faltar\u00e1 probar cu\u00e1ndo su l\u00edmite es exactamente el origen, alcanzando as\u00ed el objetivo de esta memoria: probar que el origen es un punto fijo de atracci\u00f3n asint\u00f3tica global. _x0008_igskip el paso m\u00e1s delicado es el referente al estudio del conjunto de puntos no errantes del sistema. Es aqu\u00ed donde se ve claramente la importancia del rayo $gamma$ invariante por la aplicaci\u00f3n $f$. veremos que el conjunto $ ^2setminus gamma$ es homeomorfo a $ ^2$ y que el conjunto de puntos fijos de $f$ est\u00e1 contenido en la curva. Por tanto, $f$ restringida al complementario de $gamma$ es una aplicaci\u00f3n sin puntos fijos.Par _x0008_igskip en primer lugar supondremos que la aplicaci\u00f3n preserva la orientaci\u00f3n para hacer uso de la teor\u00eda existente sobre embebimientos del plano sin puntos fijos motivada por el teorema de massera y desarrollada por p. Murthy y r. Ortega, entre otros. esta teor\u00eda afirma que una aplicaci\u00f3n continua e inyectiva del plano sin puntos fijos no tiene puntos no errantes. Par medskip en segundo lugar estudiaremos el caso en que la aplicaci\u00f3n $f$ no preserve necesariamente la orientaci\u00f3n, en este sentido lo que haremos ser\u00e1 aplicar los resultados obtenidos a la segunda iterada $f^2$ que s\u00ed que preserva la orientaci\u00f3n y centraremos nuestra investigaci\u00f3n en la existencia de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas de per\u00edodo $2$.<\/p>\n

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Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00abAplicaciones del plano con un punto fijo de atracci\u00f3n global<\/strong>\u00ab<\/h3>\n
    \n
  • T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 Aplicaciones del plano con un punto fijo de atracci\u00f3n global <\/li>\n
  • Autor:<\/strong>\u00a0 Bego\u00f1a Alarc\u00f3n Cotillas <\/li>\n
  • Universidad:<\/strong>\u00a0 Universitat de val\u00e9ncia (estudi general)<\/li>\n
  • Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 14\/11\/2008<\/li>\n<\/ul>\n

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    Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n
      \n
    • Director de la tesis<\/strong>\n
        \n
      • Jos\u00e9 Andres Martinez Alfaro<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
      • Tribunal<\/strong>\n
          \n
        • Presidente del tribunal: rafael Ortega r\u00edos <\/li>\n
        • armengol Gasull embid (vocal)<\/li>\n
        • Francisco Romero ru\u00edz del portal (vocal)<\/li>\n
        • roland Rabanal (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n

           <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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