{"id":95062,"date":"2009-10-07T00:00:00","date_gmt":"2009-10-07T00:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/interpretacion-proyectiva-de-las-geometrias-metricas-equiformes-e-inversivas\/"},"modified":"2009-10-07T00:00:00","modified_gmt":"2009-10-07T00:00:00","slug":"interpretacion-proyectiva-de-las-geometrias-metricas-equiformes-e-inversivas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/geometria-proyectiva\/interpretacion-proyectiva-de-las-geometrias-metricas-equiformes-e-inversivas\/","title":{"rendered":"Interpretaci\u00f3n proyectiva de las geometr\u00edas m\u00e9tricas, equiformes e inversivas"},"content":{"rendered":"

Tesis doctoral de Santiago Mazuelas Franco <\/strong><\/h2>\n

La estructura de espacio af\u00edn m\u00e9trico se define usualmente mediante cuatro objetos: un conjunto, un espacio vectorial real, una acci\u00f3n del espacio vectorial sobre el conjunto y una forma bilineal sim\u00e9trica sobre el espacio vectorial, siendo el \u00faltimo objeto el que determina la m\u00e9trica del espacio. un espacio af\u00edn m\u00e9trico en el cual la forma bilineal es definida positiva, es un modelo de la geometr\u00eda eucl\u00eddea, pero existen otras geometr\u00edas m\u00e9tricas, la el\u00edptica y la hiperb\u00f3lica, que no encajan en el modelo af\u00edn m\u00e9trico, aunque si lo hacen otras geometr\u00edas derivadas de la f\u00edsica como las de galileo, lorentz o minkowski. por otra parte y desde el punto de vista de klein, una geometr\u00eda y en particular la geometr\u00eda af\u00edn m\u00e9trica es tambi\u00e9n el conjunto de propiedades invariantes por la acci\u00f3n de determinado grupo de transformaciones en un espacio. Las geometr\u00edas se pueden jerarquizar por el tama\u00f1o de sus grupos de transformaciones, un grupo muy grande da lugar a pocas propiedades geom\u00e9tricas y un proceso de especializaci\u00f3n, es decir de reducci\u00f3n del grupo, aumenta las propiedades considerables como geom\u00e9tricas. en nuestro caso, estamos interesados en \u00e1ngulos y distancias absolutas, y el grupo a considerar es el de movimientos. Pero en el caso de que nuestro inter\u00e9s se centrase en \u00e1ngulos y distancias relativas, se tratar\u00eda del grupo equiforme y si estuvi\u00e9semos interesados solamente en los \u00e1ngulos usar\u00edamos el grupo inversivo o conforme. Cada uno de estos grupos es mayor que el anterior, es decir se refleja perfectamente el proceso de especializaci\u00f3n del que habl\u00e1bamos arriba. sin embargo la idea de que todas las geometr\u00edas pueden ser obtenidas en un orden lineal unas a partir de otras mediante procesos de especializaci\u00f3n o generalizaci\u00f3n es falsa ya que no es posible ordenar linealmente los grupos de transformaciones de las geometr\u00edas no eucl\u00eddeas y eucl\u00eddeas. Como alternativa y siguiendo la idea de cayley podemos plantearnos la pregunta de si todas las geometr\u00edas son especializaciones de la geometr\u00eda proyectiva. La pregunta tiene considerable inter\u00e9s pr\u00e1ctico. Usando la estructura de espacio af\u00edn m\u00e9trico en la forma descrita en el primer p\u00e1rrafo, los grupos de movimientos y equiforme se representan como grupos matriciales, sin embargo el grupo conforme no tiene una representaci\u00f3n lineal, y lo mismo sucede con los grupos similares para las geometr\u00edas no eucl\u00eddeas. Si pudi\u00e9ramos alcanzar el objetivo de cayley, todos los grupos de transformaciones geom\u00e9tricas ser\u00edan subgrupos del grupo proyectivo, y en consecuencia admitir\u00edan representaciones lineales proyectivas. usualmente se presenta el espacio af\u00edn como el complementario de un hiper-plano en el espacio proyectivo, el hiperplano el infinito, pero eso fuerza a considerar la m\u00e9trica, en el caso af\u00edn m\u00e9trico, como un objeto en el infinito, sin embargo las geometr\u00edas no eucl\u00eddeas se describen en el interior de una cu\u00e1drica proyectiva y no es claro, cuando no es err\u00f3neo, el proceso de paso al l\u00edmite descrito en los textos cl\u00e1sicos para pasar de las geometr\u00edas no eucl\u00eddeas a la eucl\u00eddea. De modo que esta forma de trabajar no es satisfactoria. el trabajo cl\u00e1sico de cayley que representa los espacios m\u00e9tricos como cu\u00e1dricas, via la proyecci\u00f3n estereogr\u00e1fica, se limita al cuerpo real y a dimensio-nes dos y tres y usa una noci\u00f3n sumamente imprecisa de espacio proyectivo, ya que al no poder usar las razones dobles para representar las coordenadas, y trabajar con m\u00e9todos anal\u00edticos usa las coordenadas, asociadas todav\u00eda a una m\u00e9trica, para introducir la m\u00e9trica en el proyectivo. Pero su idea b\u00e1sica es utilizable desde el enfoque moderno de la geometr\u00eda. En este trabajo presenta-mos un estudio sistem\u00e1tico de las representaciones de los espacios afines m\u00e9tricos desde un punto de vista proyectivo. mostramos que la forma natural de presentar un espacio af\u00edn m\u00e9trico es mediante un espacio proyectivo especializado con la adjunci\u00f3n de una cu\u00e1drica. Esta representaci\u00f3n es intr\u00ednseca ya que la cu\u00e1drica que se adjunta viene dada por los ciclos que caracterizan dicha estructura m\u00e9trica. Por lo tanto, clasificar las geometr\u00edas m\u00e9tricas es lo mismo que clasificar cu\u00e1dricas proyectivas. En este contexto, se pueden definir razones trigonom\u00e9tricas o funciones exponenciales de forma sencilla mediante razones dobles para cualquier cuerpo base. Adem\u00e1s, de esta forma, las transformaciones conformes (inversivas) se representan mediante grupos de matrices. Estas trans-formaciones son importantes tambi\u00e9n en la f\u00edsica ya que son las que describen la geometr\u00eda de lorentz en espacios de minkowski. por otra parte, en este trabajo tambi\u00e9n trasladamos el esquema: grupo conforme – transformaciones de moebius – proyectividades de la recta proyectiva compleja, a situaciones mas generales. estudiamos las estructuras de las \u00e1lgebras finito-dimensionales sobre cuerpos. Definimos con precisi\u00f3n las rectas proyectivas sobre \u00e1lgebras con divisores de cero y se demuestran resultados como un teorema de staudt para dichas rectas proyectivas, que permiten determinar la estructura de los grupos proyectivos de espacios de dimension uno sobre algebras finito dimensionales. Para algebras de dimensi\u00f3n dos se demuestra que la representaci\u00f3n de los espacios m\u00e9tricos mediante cu\u00e1dricas y mediante rectas proyectivas sobre \u00e1lgebras es totalmente equivalente sea cual sea el cuerpo base. Sin embargo, para dimensiones mayores, la p\u00e9rdida de propiedades como la conmutatividad o asociatividad de las \u00e1lgebras hace que el estudio se complique sobremanera, perdi\u00e9ndose las ventajas de una representaci\u00f3n de la m\u00e9trica mediante \u00e1lgebras.<\/p>\n

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Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00abInterpretaci\u00f3n proyectiva de las geometr\u00edas m\u00e9tricas, equiformes e inversivas<\/strong>\u00ab<\/h3>\n
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  • T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 Interpretaci\u00f3n proyectiva de las geometr\u00edas m\u00e9tricas, equiformes e inversivas <\/li>\n
  • Autor:<\/strong>\u00a0 Santiago Mazuelas Franco <\/li>\n
  • Universidad:<\/strong>\u00a0 Valladolid<\/li>\n
  • Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 10\/07\/2009<\/li>\n<\/ul>\n

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    Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n
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    • Director de la tesis<\/strong>\n
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      • Jos\u00e9 Manuel Aroca Hernandez Ros<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
      • Tribunal<\/strong>\n
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        • Presidente del tribunal: evaristo j. Abril domingo <\/li>\n
        • Jos\u00e9 Luis Vicente c\u00f3rdoba (vocal)<\/li>\n
        • Fernando Otayo gordejuela (vocal)<\/li>\n
        • julio Castellanos pe\u00f1uela (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n

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