{"id":95504,"date":"2018-03-11T10:15:32","date_gmt":"2018-03-11T10:15:32","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/study-of-the-effect-of-conservative-and-weackly-dissipative-perturbations-on-symplectic-maps-and-hamiltonian-systems\/"},"modified":"2018-03-11T10:15:32","modified_gmt":"2018-03-11T10:15:32","slug":"study-of-the-effect-of-conservative-and-weackly-dissipative-perturbations-on-symplectic-maps-and-hamiltonian-systems","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/barcelona\/study-of-the-effect-of-conservative-and-weackly-dissipative-perturbations-on-symplectic-maps-and-hamiltonian-systems\/","title":{"rendered":"Study of the effect of conservative and weackly dissipative perturbations on symplectic maps and hamiltonian systems."},"content":{"rendered":"

Tesis doctoral de Arturo Vieiro Yanes <\/strong><\/h2>\n

Resumen de la tesis:\ten este trabajo de tesis se estudian perturbaciones de sistemas hamiltonianos y aplicaciones simpl\u00e9cticas. Se consideran perturbaciones que preservan la estructura simpl\u00e9ctica del sistema y perturbaciones disipativas. La metodolog\u00eda, adaptada a cada caso, se basa en la construcci\u00f3n de modelos anal\u00edticos que reflejan las caracter\u00edsticas din\u00e1micas relevantes a estudiar. Tambi\u00e9n se han implementado diversos algoritmos num\u00e9ricos para completar y contrastar el estudio te\u00f3rico y para intentar entender de manera global la din\u00e1mica del sistema. el objetivo final del trabajo es proporcionar una descripci\u00f3n cuantitativa y global del espacio de fase de un sistema conservativo o d\u00e9bilmente disipativo. Sigue as\u00ed las directrices marcadas por poincar\u00e9 para el an\u00e1lisis de un sistema din\u00e1mico, determinando los objetos invariantes relevantes que organizan la din\u00e1mica (el esqueleto del sistema). Notamos que, tradicionalmente, este estudio se ha realizado desde un punto de vista cualitativo. A continuaci\u00f3n describimos brevemente qu\u00e9 entendemos por descripci\u00f3n cuantitativa y global del espacio de fase. el estudio del espacio de fase tiene como objetivo describir el esqueleto del sistema y sus posibles bifurcaciones. En particular, este estudio permite obtener una descripci\u00f3n geom\u00e9trica y determinar as\u00ed propiedades din\u00e1micas del sistema. Sin embargo, si se pretende realizar experimentos f\u00edsicos no es suficiente conocer, por ejemplo, que el espacio de fase presenta una zona ca\u00f3tica sino que hace falta dar informaci\u00f3n de la medida de la misma, de la probabilidad de estar en una subregi\u00f3n de \u00e9sta, describir c\u00f3mo evoluciona la zona respecto los par\u00e1metros representativos del sistema, obtener informaci\u00f3n de la medida de las zonas estables dentro de la regi\u00f3n a priori ca\u00f3tica,… \u00e9ste es el tipo de cuestiones cuantitativas a las que sistem\u00e1ticamente nos enfrentamos a lo largo del trabajo. por otro lado, se ha pretendido describir globalmente la din\u00e1mica. Observamos que para dar una descripci\u00f3n global hay que entender los diferentes reg\u00edmenes perturbativos locales y las interacciones entre los objetos del espacio de fase de las diferentes aproximaciones. La falta de t\u00e9cnicas anal\u00edticas globales hace que la mayor\u00eda de estudios realizados en esta direcci\u00f3n est\u00e9n basados en t\u00e9cnicas num\u00e9ricas. los resultados obtenidos deben considerarse como un primer paso de cara a la descripci\u00f3n global cuantitativa de un sistema conservativo o d\u00e9bilmente disipativo. En particular, el estudio se centra en perturbaciones de aplicaciones del plano que preservan \u00e1rea (apms). Cabe observar que muchas de las t\u00e9cnicas utilizadas pueden ser adaptadas al estudio de sistemas de dimensi\u00f3n superior. con el fin de detallar los principales resultados te\u00f3ricos y num\u00e9ricos resumimos a continuaci\u00f3n el contenido de cada uno de los cap\u00edtulos en que la memoria ha sido estructurada: cap\u00edtulo 0: es un cap\u00edtulo preliminar que contiene algunas propiedades b\u00e1sicas de las aplicaciones simpl\u00e9cticas, introduce la aplicaci\u00f3n de h\u00e9non y describe brevemente la din\u00e1mica de \u00e9sta. La aplicaci\u00f3n de h\u00e9non ha sido utilizada a lo largo de todo el trabajo, ya sea en su versi\u00f3n conservativa o d\u00e9bilmente disipativa, para ilustrar los diferentes resultados te\u00f3ricos o como ejemplo, paradigma de las apms, en el estudio num\u00e9rico del espacio de fase. cap\u00edtulo 1: en este cap\u00edtulo se estudia el espacio de fase de una apm alrededor de un punto fijo el\u00edptico. Usando t\u00e9cnicas perturbativas de forma normal se consigue una descripci\u00f3n precisa de las zonas resonantes. La din\u00e1mica en estas zonas se aproxima por un flujo hamiltoniano adecuado acot\u00e1ndose el error entre la aproximaci\u00f3n realizada y la din\u00e1mica real del sistema. el resultado m\u00e1s relevante proporciona una descripci\u00f3n cuantitativa de la escisi\u00f3n de las separatrices que forman las islas resonantes en el espacio de fase. Se demuestra que, gen\u00e9ricamente, para resonancias d\u00e9biles, la escisi\u00f3n de las variedades exteriores de la isla resonante es m\u00e1s grande que el \u00e1ngulo que crea la escisi\u00f3n de las separatrices interiores, al menos en un entorno adecuado del punto fijo el\u00edptico de la cual bifurcan los puntos peri\u00f3dicos asociados a la estructura resonante. Por otro lado, se generaliza el anterior resultado al caso de resonancias fuertes para cualquier apm. Se analiza con detalle el caso degenerado de la resonancia 1:4 de h\u00e9non. A modo de conclusi\u00f3n se establece que, en el caso fuertemente resonante, la diferencia entre los \u00e1ngulos de escisi\u00f3n de las variedades exteriores e interiores que forman la isla pueden ser de orden de magnitud diferente. cap\u00edtulo 2: se estudia la din\u00e1mica en las zonas ca\u00f3ticas del sistema mediante diferentes modelos de retorno: la \u00abseparatrix map\u00bb, la \u00abdoble separatrix map\u00bb y la \u00abbiseparatrix map\u00bb. Los dos primeros modelos fueron introducidos con anterioridad y hoy en d\u00eda son utilizados de manera sistem\u00e1tica para el estudio de las zonas ca\u00f3ticas cerca de las separatrices que las generan. En este trabajo los utilizamos para obtener una descripci\u00f3n cuantitativa de la zona ca\u00f3tica generada por las separatrices que confinan una isla resonante. La \u00abdoble separatrix map\u00bb tiene en cuenta el efecto de la reinyecci\u00f3n de la din\u00e1mica en la zona estoc\u00e1stica. Se ilustra c\u00f3mo usando una aproximaci\u00f3n adecuada por un flujo se obtiene informaci\u00f3n sobre la distancia entre la separatriz y las curvas invariantes o sobre el n\u00famero de islas de estabilidad en la zona ca\u00f3tica. En particular, se hace una descripci\u00f3n precisa de la situaci\u00f3n en un r\u00e9gimen perturbativo del punto el\u00edptico del cual bifurcan las islas resonantes y se analizan las consecuencias de la diferencia entre los \u00e1ngulos de escisi\u00f3n interior-exterior en la amplitud de la zona ca\u00f3tica. paralelamente a la realizaci\u00f3n de \u00e9ste estudio de las zonas ca\u00f3ticas se obtuvieron resultados sobre la existencia de \u00f3rbitas peri\u00f3dicas el\u00edpticas que visitan l\u00f3bulos homocl\u00ednicos (ver trabajos de c.Sim\u00f3 & d.Treshev y de a. Neishtadt citados en la bibliograf\u00eda). Para la familia \u00abseparatrix map\u00bb de apms demostramos que la medida en el espacio de par\u00e1metros de aplicaciones que tienen \u00f3rbitas de este tipo est\u00e1 acotada inferiormente por una cantidad expl\u00edcita. Tambi\u00e9n, en la misma l\u00ednea de resultados, obtenemos num\u00e9ricamente informaci\u00f3n de estas \u00f3rbitas en el caso de la resonancia 1:4 de la aplicaci\u00f3n de h\u00e9non. por \u00faltimo, se analiza la din\u00e1mica en grandes zonas de inestabilidad (i.E, no necesariamente exponencialmente peque\u00f1as como en el caso de las zonas ca\u00f3ticas que se crean en la escisi\u00f3n de separatrices) debidas a la interacci\u00f3n de diferentes resonancias. Es el caso, en particular, de las zonas de birkhoff. Para obtener una descripci\u00f3n de la din\u00e1mica global en estas zonas introducimos la aplicaci\u00f3n \u00abbiseparatrix map\u00bb. La descripci\u00f3n que se obtiene no es completamente satisfactoria ya que es meramente cualitativa pues la obtenci\u00f3n de informaci\u00f3n cuantitativa depende de par\u00e1metros que no son f\u00e1ciles de determinar. Sin embargo, permite entender la fenomenolog\u00eda que se da en el borde del dominio de estabilidad al evolucionar los parametros del sistema as\u00ed como explicar la geometria de las zonas de birkhoff con car\u00e1cter \u00abwist\u00bb y \u00abno-twist\u00bb. cap\u00edtulo 3: se estudia la din\u00e1mica en el dominio de estabilidad de manera global. Se establece una metodolog\u00eda, b\u00e1sicamente num\u00e9rica pero fuertemente basada en los resultados y modelos te\u00f3ricos de los cap\u00edtulos anteriores, para estudiar la evoluci\u00f3n respecto par\u00e1metros del dominio de estabilidad de cualquier familia de apms. Se describe c\u00f3mo la interacci\u00f3n de las resonancias lejos del punto el\u00edptico que genera el dominio de estabilidad destruye la \u00faltima curva invariante. Adem\u00e1s, se analiza c\u00f3mo esta interacci\u00f3n de resonancias afecta a la medida del dominio de estabilidad. cap\u00edtulo 4: se considera el estudio de perturbaciones disipativas de apms. Concretamente, se consideran perturbaciones radialmente disipativas. En primer lugar, se da una descripci\u00f3n topol\u00f3gica de la evoluci\u00f3n de las estructuras resonantes al a\u00f1adir la disipaci\u00f3n. Despu\u00e9s se generalizan los resultados de los cap\u00edtulos 1 y 2 al caso considerado, adaptando los modelos adecuadamente. En particular, se obtiene informaci\u00f3n sobre los posibles \u00c2\u00bf-l\u00edmites de la din\u00e1mica en funci\u00f3n de los par\u00e1metros relevantes del sistema y del par\u00e1metro disipativo. Tambi\u00e9n, se obtiene informaci\u00f3n cuantitativa sobre la probabilidad de captura en las diferentes estructuras resonantes que sobreviven a la disipaci\u00f3n. Por \u00faltimo, se proporciona una metodolog\u00eda num\u00e9rica que nos permite contrastar los resultados te\u00f3ricos obtenidos usando modelos adecuados a cada situaci\u00f3n geom\u00e9trica de la zona resonante concreta.<\/p>\n

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Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00abStudy of the effect of conservative and weackly dissipative perturbations on symplectic maps and hamiltonian systems.<\/strong>\u00ab<\/h3>\n
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  • T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 Study of the effect of conservative and weackly dissipative perturbations on symplectic maps and hamiltonian systems. <\/li>\n
  • Autor:<\/strong>\u00a0 Arturo Vieiro Yanes <\/li>\n
  • Universidad:<\/strong>\u00a0 Barcelona<\/li>\n
  • Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 21\/07\/2009<\/li>\n<\/ul>\n

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    Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n
      \n
    • Director de la tesis<\/strong>\n
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      • Carles Sim\u00f3 Torres<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n
      • Tribunal<\/strong>\n
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        • Presidente del tribunal: hendrick Broer <\/li>\n
        • vassili Gefreich (vocal)<\/li>\n
        • (vocal)<\/li>\n
        • (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n

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