{"id":99395,"date":"2018-03-11T10:20:27","date_gmt":"2018-03-11T10:20:27","guid":{"rendered":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/sin-categoria\/superficies-de-curvatura-media-paralela-en-s2xs2-y-h2xh2-y-superficies-de-curvatura-media-constante-en-espacios-homogeneos\/"},"modified":"2018-03-11T10:20:27","modified_gmt":"2018-03-11T10:20:27","slug":"superficies-de-curvatura-media-paralela-en-s2xs2-y-h2xh2-y-superficies-de-curvatura-media-constante-en-espacios-homogeneos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.deberes.net\/tesis\/matematicas\/superficies-de-curvatura-media-paralela-en-s2xs2-y-h2xh2-y-superficies-de-curvatura-media-constante-en-espacios-homogeneos\/","title":{"rendered":"Superficies de curvatura media paralela en s^2xs^2 y h^2xh^2 y superficies de curvatura media constante en espacios homog\u00e9neos"},"content":{"rendered":"<h2>Tesis doctoral de <strong> Francisco Torralbo Torralbo <\/strong><\/h2>\n<p>La memoria trata del estudio de superficies, principalmente dos son los problemas abordados: el estudio de las superficies de curvatura media paralela en el producto de dos esferas o dos planos hiperb\u00f3licos (cap\u00edtulos 5 y 6) y el estudio de las superficies de curvatura media constante y curvatura de gauss constante en 3-variedades homog\u00e9neas riemannianas con grupo de isometr\u00edas de dimensi\u00f3n 4 (cap\u00edtulos 3, 4, 7 y 8).    la primera familia de superficies que estudiamos en esta tesis doctoral son las superficies con vector curvatura media paralelo en las variedades de dimensi\u00f3n cuatro producto de dos esferas o dos planos hiperb\u00f3licos con la misma curvatura. Este concepto es la generalizaci\u00f3n natural de las superficies de curvatura media constante a codimensi\u00f3n mayor que uno. Las 4-variedades donde es tratado el problema son espacios sim\u00e9tricos y desde el punto de vista de su curvatura, las m\u00e1s simples despu\u00e9s del espacio eucl\u00eddeo, la esfera, el espacio hiperb\u00f3lico de dimensi\u00f3n 4 y los planos proyectivos e hiperb\u00f3licos complejos donde el problema ya hab\u00eda sido tratado. En este caso, aunque existen hipersuperficies totalmente umbilicales, s\u00f3lo las totalmente geod\u00e9sicas (salvo congruencias, s^2 x r y h^2 x r) tienen curvatura media constante (cf. Proposici\u00f3n 1.1). Por tanto, la superficies de curvatura media constante de s^2 x r y h^2 x r son superficies con vector curvatura media paralelo en s^2 x s^2 y h^2 x h^2 respectivamente.  una de las herramientas fundamentales que hemos usado en esta memoria para su estudio es la construcci\u00f3n de dos diferenciales cuadr\u00e1ticas holomorfas sobre cualquier superficie de curvatura media paralela de s^2 \u00ed&#8211; s^2 y h^2 \u00ed&#8211; h^2 (cf. Definici\u00f3n 5.3) que generalizan a la diferencial de abresch-rosenberg en el sentido siguiente: si una superficie con curvatura media paralela de s^2 \u00ed&#8211; s^2 (respectivamente de h^2 \u00ed&#8211; h^2) factoriza a trav\u00e9s de una superficie de curvatura media constante de s^2 \u00ed&#8211; r (respectivamente de h^2 \u00ed&#8211; r), entonces ambas diferenciales son iguales y adem\u00e1s coinciden (salvo una constante) con la diferencial de abresch-rosenberg (ver lema 5.1). Para la construcci\u00f3n de estas dos diferenciales se ha usado fuertemente las dos estructuras de variedad de k\u00ed\u00a4hler que estas variedades de dimensi\u00f3n cuatro poseen (cf. Cap\u00edtulo 1).  la principal aportaci\u00f3n en este estudio es la clasificaci\u00f3n de las superficies de curvatura media paralela con la condici\u00f3n adicional de que su curvatura normal extr\u00ednseca sea nula (teorema 6.3). En particular clasificamos aquellas superficies cuyas diferenciales cuadr\u00e1ticas son ambas nulas (teorema 6.4) y m\u00e1s concretamente las esferas (corolario 6.1). Adem\u00e1s mostramos la estrecha relaci\u00f3n entre este tipo de superficies y las superficies de curvatura media constante en s^2xr y h^2xr (teorema 6.1) obteniendo en particular un resultado de rig\u00eddez local para superficies de curvatura media constante en dichos dos espacios (corolario 6.3).  el segundo problema abordado en la memoria es el estudio de las superficies de curvatura media constante y de curvatura de gauss constante de 3-variedades homog\u00e9neas riemannianas.   respecto a la primera familia de superficies el primer problema abordado fue el encontrar ejemplos de superficies de curvatura media constante en las esferas de berger y el grupo lineal especial, que eran los espacios ambientes menos estudiados. El cap\u00edtulo 3 de esta memoria est\u00e1 dedicado a ello. En la secci\u00f3n 3.2 se describen expl\u00edcitamente todos los toros llanos de curvatura media constante de las esferas de berger y del grupo lineal especial. La secci\u00f3n 3.3 est\u00e1 dedicada a construir las superficies de rotaci\u00f3n con curvatura media constante de las esferas de berger y del grupo especial lineal (teoremas 3.1 y 3.2), dando una descripci\u00f3n expl\u00edcita de las esferas (corolarios 3.1y 3.2) y obteniendo el \u00e1rea de las mismas (proposici\u00f3n 3.5). Como resultados singulares cabe destacar que, en algunas esferas de berger y en algunas m\u00e9tricas homog\u00e9neas del grupo lineal especial, existen ejemplos de esferas de curvatura media constante que tienen autointersecciones. As\u00ed mismo, en algunas esferas de berger existen ejemplos de toros m\u00ednimos (esto es, que tienen curvatura media nula) diferentes del toro de clifford y que no poseen autointersecciones. Esto prueba el distinto comportamiento de estas esferas con relaci\u00f3n a la esfera usual, en donde a excepci\u00f3n del toro de clifford, todos los toros m\u00ednimos tienen autointersecciones.  los ecuadores y el toro de clifford (convenientemente situados en s3 ) no s\u00f3lo son ejemplos de superficies m\u00ednimas en el esfera usual, sino que tambi\u00e9n son superficies m\u00ednimas en cualquier esfera de berger. En la secci\u00f3n 3.4 caracterizamos aquellas superficies m\u00ednimas de s^3 que son tambi\u00e9n m\u00ednimas en cualquier esfera de berger. La familia obtenida es no trivial y proporciona nuevos ejemplos de superficies m\u00ednimas en las esferas de berger (cf. Teorema 3.3).  un segundo problema que se abord\u00f3 fue la clasificaci\u00f3n de las superficies compactas de curvatura media constante estables y el problema isoperim\u00e9trico (cap\u00edtulos 7 y 8) de las esferas de berger, el grupo lineal especial y el grupo de heisenberg. Cuando se intentan abordar problemas de estabilidad es necesario disponer de apropiadas funciones test para ser usadas en la forma cuadr\u00e1tica de la segunda variaci\u00f3n del \u00e1rea, as\u00ed como un control de la integral del cuadrado de la curvatura media. A veces estas funciones son restricciones a la superficie de funciones del espacio ambiente, por lo que cuanto m\u00e1s bondadoso sea el espacio ambiente mayores posibilidades de \u00e9xito tendremos. Por tanto es interesante ver a nuestras 3-variedades ambiente como hipersuperfies naturales de 4-variedades con buenas propiedades geom\u00e9tricas. Aunque m\u00e1s o menos esto era un hecho conocido, no estaba bien escrito en la literatura y, por tanto, en el cap\u00edtulo 2 probamos que las esferas de berger son las esferas geod\u00e9sicas del plano proyectivo complejo y del plano hiperb\u00f3lico complejo, que el grupo lineal especial con sus diferentes m\u00e9tricas homog\u00e9neas son los tubos sobre hiperplanos complejos del plano hiperb\u00f3lico complejo y que el grupo de heisenberg es la horoesfera del plano hiperb\u00f3lico complejo (cf. Proposiciones 2.2, 2.3 y 2.4). Estas hipersuperficies de los planos proyectivo e hiperb\u00f3lico complejos son exactamente las llamadas hipersuperficies pseudo-umbilicales (en estos espacios no existen hipersuperficies umbilicales). Esta manera de ver a los espacios homog\u00e9neos anteriormente citados ser\u00e1 fundamental para obtener los resultados de estabilidad del cap\u00edtulo 8.  el cap\u00edtulo 7 se encarga de estudiar la estabilidad de las superficies compactas de curvatura media constante m\u00e1s regulares, entendiendo por tal las que deber\u00edan ser las candidatas a ser las \u00fanicas estables. En concreto en el teorema 7.1 se prueba que todas las esferas con curvatura media constante del grupo lineal especial y del grupo de heisenberg son estables, mientras que hay esferas de berger en las que no todas sus esferas de curvatura media constante son estables. Esto no resulta sorprendente, pues souam ya prob\u00f3 que una propiedad similar ocurre con las esferas de curvatura media constante de s^2xr. Es interesante destacar que la demostraci\u00f3n de estos resultados pasa por probar una propiedad general que afirma que la forma cuadr\u00e1tica de la segunda variaci\u00f3n del \u00e1rea de cualquier esfera con curvatura media constante de un espacio homog\u00e9neo riemanniano con grupo de isometr\u00edas de 4 o bien la esfera o el espacio eucl\u00eddeo est\u00e1ndar es siempre la misma. En particular el \u00edndice y la nulidad de estas formas cuadr\u00e1ticas es siempre 1 y 3 respectivamente (cf. Proposici\u00f3n 7.1).  en las proposiciones 7.2 y 7.3 se estudia la estabilidad de los toros llanos con curvatura media constante de las esferas de berger y del grupo lineal especial construidos en las proposiciones 3.2 y 3.3. En este caso el operador de jacobi de la segunda variaci\u00f3n es un operador de schr\u00ed\u00b6dinger con funci\u00f3n potencial constante y, por tanto, el estudio de la estabilidad equivale al ejercicio de conocer el primer valor propio no nulo del laplaciano de estos toros llanos. Como novedad m\u00e1s importante se tiene que hay esferas de berger en las que algunos toros llanos son estables, poni\u00e9ndose de nuevo de manifiesto la diferencia entre la esfera est\u00e1ndar y las esferas de berger. En el caso del grupo lineal especial es interesante constatar que en todas sus m\u00e9tricas homog\u00e9neas existen toros llanos de curvatura media constante estables.  en el cap\u00edtulo 8 se estudian las superficies compactas estables de las esferas de berger, del grupo lineal especial y del grupo de heisenberg. Una primera idea para ello es usar como funci\u00f3n test sobre nuestra superficie compacta una funci\u00f3n meromorfa sobre ella (en realidad tres funciones valuadas reales) cuyo grado es controlado por el g\u00e9nero de la superficie y que proporciona la teor\u00eda de brill-noether. Por supuesto esta idea ha sido explotada en diferentes situaciones y en nuestro caso no aportar\u00eda ning\u00fan resultado nuevo sino fuese por el control que se tiene de la integral del cuadrado de la curvatura media. Este control nos lo proporciona el poder considerar a nuestras superficies como superficies de los planos proyectivo e hiperb\u00f3lico complejos y un resultado de montiel y urbano que acota el funcional de willmore de estas superficies. Todas estas herramientas y manipulaciones de la segunda f\u00f3rmula de variaci\u00f3n nos permite clasificar, bajo ciertas reestricciones, las superficies compactas estables de estas 3-variedades (teorema 8.1).   la segunda idea para estudiar estabilidad ha sido usada muy recientemente por ros. Las funciones test usadas se construyen a partir de los campos arm\u00f3nicos de la superficie (que siempre existen si el g\u00e9nero de la superficie es mayor que cero), viendo \u00e9stos como funciones vectoriales en el espacio eucl\u00eddeo, para lo cual necesitamos que nuestra 3-variedad ambiente admita una razonable inmersi\u00f3n isom\u00e9trica en alg\u00fan espacio eucl\u00eddeo. Usando estas ideas, en la proposici\u00f3n 8.1, damos un criterio general de estabilidad que en el caso particular del espacio eucl\u00eddeo o la 3-esfera nos permite redemostrar los resultados de barbosa, do carmo y eschenburg y en el caso particular de s^2xr nos permite redemostrar el resultado de souam. Finalmente dicho criterio junto a que nuestras 3-variedades son hipersuperficies de los planos proyectivo o hiperb\u00f3lico complejos y el plano proyectivo complejo admite un embebimiento isom\u00e9trico en el espacio eucl\u00eddeo r^8 (el conocido como primer embebimiento est\u00e1ndar) nos permite obtener un resultado \u00f3ptimo de estabilidad para ciertas esferas de berger (teorema 8.2). Este resultado de estabilidad permite resolver el problema isoperim\u00e9trico en dicha familia de esferas de berger, provando que las soluciones son las esferas.  finalmente, en esta memoria tambi\u00e9n se ha tratado otro problema cl\u00e1sico de la geometr\u00eda diferencial como es el estudio de las superficies con curvatura de gauss constante. B\u00e1sicamente consiste en estudiar superficies compactas de curvatura de gauss constante en espacios homog\u00e9neos riemannianos con grupo de isometr\u00edas de dimensi\u00f3n cuatro.   en primer lugar se obtiene una f\u00f3rmula integral que involucra a la curvatura de gauss de la superficie compacta y que es v\u00e1lida incluso en los espacios de curvatura constante. No obstante en estos \u00faltimos dicha f\u00f3rmula es irrelevante, mientras que en los espacios homog\u00e9neos cuyo grupo de isometr\u00edas tiene dimensi\u00f3n cuatro permite clasificar sus superfices compactas llanas (cf. Teorema 4.1).   finalmente, usando argumentos de naturaleza topol\u00f3gica, en el teorema 4.3 y el corolario 4.2, estudiamos el comportamiento de la curvatura de gauss de esta clase de superficies y probamos resultados de no-existencia para superficies compactas con curvatura de gauss constante en estos espacios homog\u00e9neos riemannianos.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Datos acad\u00e9micos de la tesis doctoral \u00ab<strong>Superficies de curvatura media paralela en s^2xs^2 y h^2xh^2 y superficies de curvatura media constante en espacios homog\u00e9neos<\/strong>\u00ab<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>T\u00edtulo de la tesis:<\/strong>\u00a0 Superficies de curvatura media paralela en s^2xs^2 y h^2xh^2 y superficies de curvatura media constante en espacios homog\u00e9neos <\/li>\n<li><strong>Autor:<\/strong>\u00a0 Francisco Torralbo Torralbo <\/li>\n<li><strong>Universidad:<\/strong>\u00a0 Granada<\/li>\n<li><strong>Fecha de lectura de la tesis:<\/strong>\u00a0 25\/02\/2010<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>Direcci\u00f3n y tribunal<\/h3>\n<ul>\n<li><strong>Director de la tesis<\/strong>\n<ul>\n<li>aranda Urbano Perez<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><strong>Tribunal<\/strong>\n<ul>\n<li>Presidente del tribunal: joaquin Perez mu\u00f1oz <\/li>\n<li>laurent Hauswirth (vocal)<\/li>\n<li>pablo Mira carrillo (vocal)<\/li>\n<li>rabah Souam (vocal)<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tesis doctoral de Francisco Torralbo Torralbo La memoria trata del estudio de superficies, principalmente dos son los problemas abordados: el 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