Tesis doctoral de Abraham De La Rosa Ibarra
El objetivo de esta tesis es mostrar inestabilidad global o difusión de arnold en el problema restringido de tres cuerpos elíptico (ptcre) mostrando la existencia de pseudo-trayectorias difusivas en el espacio fase para ciertos rangos de la excentricidad (e), el momento angular del cometa (g) y el parámetro de masa (µ). Mas precisamente, los resultados presentados, son válidos para g suficientemente grande, eg acotado y µ suficientemente pequeño. la tesis está dividida en dos capítulos y dos apéndices. El capítulo 1, contiene todos los resultados principales. Después de introducir el ptcre, usamos coordenadas de mcgehee para definir la variedad de infinito, que será de dimensión tres en el espacio fase extendido y que topológicamente se comporta como una variedad invariante normalmente hiperbólica (nhim), aunque es de tipo parabólico. Esto significa que la tasa de acercamiento y alejamiento de ella a lo largo de sus variedades invariantes es polinomial, en lugar de exponencial como sucede en una nhim estándar. Por otra parte, la dinámica interior es trivial ya que está formada por una familia de orbitas con 2 parámetros y de período 2p en el espacio extendido 5d que corresponden a soluciones constantes en el espacio reducido 4d. Como consecuencia, las variedades estables e inestables de la variedad de infinito son la unión de las variedades estables e inestables de sus orbitas periódicas y siempre que estas variedades se intersequen sobre orbitas heteroclínicas transversales, el scattering map puede ser definido como hicieron de la llave, seara y delshams . Desafortunadamente, ya que la dinámica interior de la variedad de infinito es muy simple, el mecanismo de difusión clásico, que consiste en combinar la dinámica interior con la exterior, no funciona aquí. En su lugar, como una novedad, seremos capaces de encontrar dos scattering maps diferentes que serán combinados de manera adecuada para producir orbitas cuyo momento angular crezca. la fórmula asintótica del scattering map recae enteramente en el cálculo del llamado potencial de melnikov, como es definido en los trabajos de delshams, gutiérrez y seara. La primer derivada del potencial de melnikov da la aproximación a primer orden de la distancia entre las variedades estable e inestable de la variedad de infinito cuando el parámetro de masa es exponencialmente pequeño. Con este planteamiento, una serie de lemas y proposiciones conducirán a la fórmula de los términos dominantes del potencial de melnikov. La idea clave es calcular sus coeficientes de fourier, que serán exponencialmente pequeños cuando el momento angular es grande y una fórmula explícita no será posible, así que un cálculo efectivo será necesario. Para hacerlo, el producto eg jugará un papel clave que conducirá a los teoremas 1.5 y 1.6, el primero da una fórmula asintótica del potencial de melnikov cuando eg es pequeño y el segundo cuando eg es finito. Ambos requieren que µ sea exponencialmente pequeño con respecto a g, y g suficientemente grande. Estos teoremas naturalmente producirán las fórmulas asintóticas de los scattering maps para ambos casos y son la base de los teoremas 1.15 y 1.16, que formulan la existencia de pseudo-trayectorias en el ptcre. en el capítulo 2, damos los detalles y las pruebas de los resultados concernientes a las formulas asintóticas, dadas en el capítulo 1, para el potencial de melnikov y los scattering maps, incluyendo las cotas efectivas de cada error involucrado. Los apéndices tienen los resultados mas técnicos que son necesarios para completar de forma rigurosa cada prueba, pero que por su naturaleza, pueden ser relegados al final para hacer seguir las pruebas con mas facilidad.
Datos académicos de la tesis doctoral «Global instability in the elliptic restricted three body problem«
- Título de la tesis: Global instability in the elliptic restricted three body problem
- Autor: Abraham De La Rosa Ibarra
- Universidad: Politécnica de catalunya
- Fecha de lectura de la tesis: 16/06/2014
Dirección y tribunal
- Director de la tesis
- Amadeu Delshams Valdés
- Tribunal
- Presidente del tribunal: carles Simó torres
- María n Gidea (vocal)
- marcel Guardia munarriz (vocal)
- regina Martínez barchino (vocal)