Tesis doctoral de Victoria Martín Márquez
Numerosos problemas en diferentes áreas de las matemáticas pueden ser reformulados como un problema de punto fijo de una aplicación no expansiva. Por ejemplo, dado un operador monótono en un espacio de banach, es conocido que el operador resolvente asociado es una aplicación no expansiva cuyo conjunto de puntos fijos coinciden con el conjunto de ceros del operador monótono. Igualmente, el operador complementario de una aplicación no expansiva es monótono y su conjunto de ceros es el conjunto de puntos fijos de la aplicación. La conexión existente entre la teoría del punto fijo y la teoría de operadores monótonos permite establecer equiValencias entre un problema de punto fijo para aplicaciones no expansivas y otros problemas como por ejemplo la búsqueda de una solución de una desigualdad variacional, un minimizante de una función convexa o un punto de silla de un problema minimax. motivado por las anteriores aplicaciones, el estudio de métodos iterativos para la aproximación de puntos fijos de aplicaciones no expansivas en espacios de banach ha adquirido una gran relevancia en los últimos años, especialmente en el caso particular de los espacios de hilbert. Entre los algoritmos iterativos investigados hasta hoy, cabe destacar los siguientes: – la iteración de mann, cuyo esquema algorítmico consiste en definir la nueva iterada como la combinación convexa de la iterada anterior y su imagen por la aplicación no expansiva. – la iteración de halpern, cuya formula recursiva viene dada por la combinación convexa de un punto arbitrario y la imagen de la iterada anterior por la aplicación no expansiva. ambos algoritmos, en sus fórmulas implícitas y explícitas, han sido ampliamente estudiados y siguen siendo el objeto de investigación de muchos trabajos. A pesar del gran número de resultados en cuanto a la convergencia de estos algoritmos, aún existen importantes problemas abiertos referentes a las propiedades geométricas del espacio, hipótesis sobre la aplicación no expansiva u otros aspectos como el comportamiento asintótico de la sucesión de constantes de la combinación convexa. un importante campo de aplicación de estos métodos es claramente la aproximación de ceros de un operador monótono. Otro ejemplo es el uso de la teoría de aproximación del punto fijo para resolver problemas de viabilidad convexa como es el caso del problema «multiple-sets split feasibility» que consiste en encontrar un punto perteneciente a la intersección de una familia finita de conjuntos cerrados y convexos cuya imagen por una aplicación lineal pertenece a la intersección de otra familia finita de conjuntos cerrados y convexos. Este problema constituye una vía para enfocar problemas de otras disciplinas científicas como la reconstrucción de imágenes o la terapia con radiación de intensidad modulada. esta extensa teoría que tiene como objeto de estudio las aplicaciones no expansivas y los operadores monótonos ha sido desarrollada principalmente en el marco de los espacios de banach. Recientemente algunos conceptos y técnicas propias de los espacios vectoriales lineales han sido extendidos al marco más general de los espacios métricos. En concreto, en variedades de riemann, el estudio de métodos iterativos para resolver problemas de optimización, desigualdades variacionales y la búsqueda de ceros de operadores monótonos ha sido el centro de investigación de muchos trabajos. Especialmente en variedades de hadamard, que son aquella que tienen curvatura negativa y como consecuencia presentan muy buenas propiedades geométricas. en esta tesis, se estudian los problemas que aparecen en la conexión entre las teorías de operadores monótonos y aplicaciones no expansivas tanto en espacios lineales como no lineales. En el capítulo 1, presentamos diferentes enfoques para aproximar puntos fijos de aplicaciones de tipo no expansivo definidas en espacios de banach. En el capítulo 2, desarrollamos una teoría de operadores monótonos y aplicaciones no expansivas en variedades de hadamard, extendiendo resultados de la teoría clásica conocida en espacios de hilbert.
Datos académicos de la tesis doctoral «Fixed point approximation methods for nonexpansive mappings: optimizations problems«
- Título de la tesis: Fixed point approximation methods for nonexpansive mappings: optimizations problems
- Autor: Victoria Martín Márquez
- Universidad: Sevilla
- Fecha de lectura de la tesis: 13/04/2010
Dirección y tribunal
- Director de la tesis
- Xu Hong Kum
- Tribunal
- Presidente del tribunal: tomás Domínguez benavides
- regina Burachik (vocal)
- patrick louis Cembettes (vocal)
- chong Li (vocal)
