Principio de Bernoulli y la Ecuación de Bernoulli



Daniel Bernoulli fue un matemático suizo que estudió la relación entre la presión de los gases y de los líquidos (ambos se llaman fluidos) y su movimiento.

El principio de Bernoulli señala que los fluidos que se desplazan rápidamente originan zonas de baja presión, mientras que los fluidos que se mueven lentamente crean áreas de alta presión.

 

El trabajo de Bernoulli ha tenido un gran impacto sobre los modernos transportes por aire y por agua.

Las alas de los aviones, por ejemplo, se construyen en la actualidad con una forma específica, la superficie de sustentación.

El aire fluye más rápidamente por la parte superior de la superficie del ala que por la parte inferior.

El principio de Bernoulli demuestra que la presión del aire es mayor bajo el ala, donde el aire se mueve más lentamente. Esto produce el efecto de sustentación del ala, lo que permite el despegue del avión y su vuelo.

 

Principio de Bernoulli - ala avion
Principio de Bernoulli – ala avion

 

Ecuación de Bernoulli

Existe una ecuación general de movimiento de un fluido que se conoce como ecuación de Bernouilli.

Afirma que la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial por unidad de volumen es una constante para el flujo estacionario de un líquido ideal a lo largo de una línea de corriente. Algunos casos tienen un interés especial.

 

Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad se obtiene a partir del principio que la cantidad de fluido incompresible que fluye hacia el interior de un espacio perfectamente delimitado, que se asume que está continuamente lleno de líquido, debe ser igual a la cantidad que fluye hacia su exterior. Si a1 y a2 son las áreas de las dos secciones transversales, y v1 y v2 son las componentes de la velocidad del fluido que forman ángulo recto con estas secciones, las cantidades de líquido que fluyen a través de ellas por unidad de tiempo son proporcionales a a1v1 y a2v2. Se sigue que a1v1 = a2v2. Por consiguiente, si un fluido entra a través de un área extensa y sale por un área igual a la mitad de la anterior, la velocidad de salida es el doble de la velocidad original.

 

Fluido que se mueve en línea recta

¿Qué ocurre si se tiene un líquido en un vaso y se acelera el vaso muy rápidamente hacia adelante? El principio de Bernoulli lo explica.

Supóngase que se tiene un líquido moviéndose uniformemente en una línea recta horizontal. Considérese una pequeña porción del líquido con forma de cilindro, con su eje en la dirección del movimiento. Sea x el área de su sección transversal, l su longitud, p1 y p2 las presiones del fluido en sus extremos, m la masa de una unidad de volumen del fluido, y a su aceleración. Entonces, mxl es la masa del cilindro de fluido, y como la presión se define como fuerza por unidad de área, (p1 – p2) x es la componente de la fuerza resultante en la dirección del movimiento. Por lo tanto, según la segunda ley de movimiento de Newton,




(p1p2) x = mxla, o p1p2 = mla,

y, por tanto, mientras exista aceleración la presión variará a lo largo de una línea recta horizontal.

Se puede aplicar la ecuación que describe el movimiento de un fluido en línea recta al caso del líquido contenido en un recipiente acelerado en dirección horizontal, mientras el líquido esté en reposo respecto al recipiente. Si p1 y p2 son las presiones a profundidades h1 y h2 bajo la superficie (diagrama 1),

Diagrama 1:Un líquido que se mueve en línea recta forma un ángulo con la horizontalp1p2 = mg (h1h2)

donde g es la aceleración debida a la gravedad, entonces

h1h2 = (p1p2)/ mg = mla/mg = la/g

Por tanto, la superficie libre del líquido se inclina hacia abajo en la dirección del movimiento, formando un ángulo respecto a la horizontal dado por

tan-1 [(h1h2)/ l] = tan-1 (a/g)

Como consecuencia, la superficie libre del líquido en un recipiente acelerado forma un ángulo con la horizontal, y este ángulo aumenta si la aceleración aumenta. Si no hay aceleración, la superficie es horizontal.

 

Fluido en rotación

¿Qué sucede cuando se tiene agua en un vaso y se hace dar vueltas al mismo de modo que el agua rote?

El principio de Bernoulli, de nuevo, lo explica.

Considérese un recipiente en forma de cilindro circular con el eje vertical, que contiene un líquido. Si el recipiente y el líquido se hacen rotar alrededor del eje con una velocidad angular constante ω, las leyes del movimiento circular muestran que cualquier partícula del líquido a una distancia x del eje tendrá una aceleraciσn ω2x hacia el eje.

Esta aceleración crece cuando x aumenta, indicando que la presión es menor en el eje de rotación y se incrementa de forma gradual al alejarse del eje, de modo que la superficie está más baja en el centro y sube gradualmente al acercarnos a la pared del recipiente.

 

Cuando el recipiente está en reposo pero el líquido está en rotación. La capa externa del líquido en contacto con el recipiente está en reposo. La siguiente capa rota lentamente, y durante un tiempo cada capa sucesiva posee mayor velocidad angular. Como en el caso anterior, la velocidad en el centro es cero, y se incrementa gradualmente al alejarnos del mismo, y por tanto la capa con mayor velocidad está en algún lugar entre el eje y el costado del recipiente. La superficie libre toma entonces la forma mostrada en el diagrama 3. La acumulación de lodo cerca de la orilla interna de un río en una curva puede explicarse mediante un argumento similar.

 

 

 

Presión en una tubería de sección transversal variable

Es un error común considerar que cuando un fluido circula por una tubería cuya sección transversal varía empuja con más fuerza (tiene mayor presión) en los lugares donde la tubería es más estrecha.

En efecto, a partir de la ecuación de Bernoulli, se puede ver que sucede exactamente lo contrario.

El diagrama 4 ilustra un experimento que demuestra este hecho. AL, BM, CN, y DP son pequeñas tuberías verticales situadas en el interior de la tubería de sección variable.

La altura a la que se eleva el líquido en cada una de ellas indica la presión. Se observa que en L y en P, donde la sección transversal de la tubería horizontal es mayor, las alturas AL y DP son mayores.

Este principio tiene una aplicación práctica en el medidor de flujo de Venturi (a veces llamado tubo de Venturi), un instrumento que mide cuánto fluido fluye por una tubería. Este método no es del todo exacto, debido al rozamiento, que hace que la presión disminuya a medida que el fluido viaja a lo largo de la tubería.

 

 











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