Exponenciales y logaritmos: Explicación teórica



Una expresión o función exponencial contiene exponentes o potencias: por ejemplo, cx.

El comportamiento exponencial se presenta en muchos procesos, como el crecimiento celular, la desintegración radiactiva, o el interés compuesto.

En todos los casos, la velocidad de crecimiento o decrecimiento de una cantidad es proporcional a la misma.

El logaritmo es la potencia a la que debe elevarse un número (la base) para obtener un número dado. Si ba = x, a es el logaritmo en base b de x. Lo escribimos como a = logb (x).

Es la operación inversa de elevar a un exponente.

 

 

Logaritmos comunes

El logaritmo de un número en una base dada es la potencia a la que hay que elevar la base para obtener ese número. Escribimos logbx = a, que significa que el logaritmo de x en base b es igual a a. En otras palabras, a es la potencia a la que debemos elevar b para obtener el número x, es decir, ba = x.

Por ejemplo, supongamos que deseamos hallar el logaritmo en base 10 de 1.000. En otras palabras, queremos hallar a en log101.000 = a. Podemos reescribir esto como 10a = 1.000. Por lo tanto, a = 3 porque 10 × 10 × 10 = 103 = 1.000. Por lo tanto, log101.000 = 3.

También se puede hallar el logaritmo de un decimal. Por ejemplo, supongamos que deseamos hallar el logaritmo en base 10 de 0,01. Escribimos log100,01 = a. Por tanto

Entonces a = -2. En otras palabras, log100,01 = -2.

No todos los logaritmos se pueden evaluar de forma tan directa. La utilización de una calculadora o de tablas de logaritmos es habitual para hallar logaritmos más difíciles. Por ejemplo, sería muy difícil evaluar log103 sin utilizar alguna de estas ayudas, ya que no resulta obvio cuál es el valor de a en 10a = 3. Utilizando una calculadora, podemos hallar que log103 = 0,477121254 (con precisión hasta la novena posición decimal).

Cuando la base es 10, como en los ejemplos anteriores, el logaritmo recibe el nombre de logaritmo común. No se acostumbra a incluir la base cuando se escribe un logaritmo común. Por ejemplo, se asume que log3 significa el logaritmo en base 10, o logaritmo común, de 3.

 

Historia de los logaritmos

Los logaritmos fueron inventados por el matemático escocés John Napier hacia 1594.

Sin embargo, Napier no publicó su descubrimiento hasta que hubo calculado una tabla de logaritmos, una tarea que le tomó 20 años, sin ayuda.

Las tablas y su explicación se publicaron en 1614 y fueron bien acogidas inmediatamente por los matemáticos y los astrónomos como ayuda al cálculo.

Los logaritmos de Napier utilizaban un principio ligeramente distinto del que actualmente utilizamos para los logaritmos comunes.




Napier había diseñado sus tablas para utilizarlas con las funciones trigonométricas ya que esto era lo más útil para astronomía y navegación. Se había dado cuenta que la idea moderna de los logaritmos en base 10 sería útil de manera más general, pero cuando ya había empezado sus cálculos no quiso cambiar.

El matemático inglés Henry Briggs llevó adelante la tarea de calcular los logaritmos en base 10, y las tablas que publicó en 1617 proporcionaron la forma estándar para las tablas que aún se utilizan hoy en día, aunque hayan sido reemplazadas ampliamente por las calculadoras.

 

Medida del sonido con logaritmos

Un ejemplo sencillo de la utilización de los logaritmos se encuentra en la expresión de la intensidad sonora.

La intensidad del sonido se mide en belios y en decibelios, con 1 belio igual a 10 decibelios.  Se utilizan los logaritmos para definir los belios y los decibelios.

La utilización de números convencionales sería difícil debido al amplísimo rango de intensidades de sonido que el oído humano puede oír.

Se define el umbral de audición como 0 belios. La intensidad de un sonido cualquiera se define como el logaritmo en base 10 del número de veces que la intensidad del sonido está por encima del umbral de audición.

Por ejemplo, supóngase que tenemos un sonido cuya intensidad sea 1.000 veces superior al umbral de audición.

El logaritmo en base 10 de 1.000 es 3, por lo que este sonido tiene una intensidad de 3 belios (30 decibelios).

 

 

Comprobación de una distribución exponencial

Podemos también utilizar los logaritmos para comprobar si una cantidad sigue una distribución exponencial. S

i dibujamos un conjunto de datos sobre una gráfica y al conectar los puntos obtenemos una curva en forma de S, podemos sospechar que los datos siguen una distribución exponencial.

Para comprobar si este es el caso, deberíamos representar los datos de nuevo utilizando una escala logarítmica en uno de los ejes de la gráfica.

Si los puntos descansaran sobre una línea recta, se confirmaría que los datos siguen una distribución exponencial.

 

 

Logaritmos naturales

Los logaritmos naturales son logaritmos en base e, donde e es el número de Euler. Esto significa que el logaritmo natural de un número es la potencia a la que hay que elevar e para obtener ese número. Escribimos ln x = a, que significa que el logaritmo natural de x es igual a a. En otras palabras, a es la potencia a la que hay que elevar e para obtener el número x, es decir, ea = x. El número de Euler, e, es un número trascendente, aproximadamente igual a 2,718

Supóngase, por ejemplo, que queremos hallar el logaritmo natural de 1.000. En otras palabras, queremos hallar a en

ln 1.000 = a

Podemos reescribir esto como

ea = 1.000

Por tanto, a es aproximadamente igual a 6,9 porque e6,9 = 1.000. Por tanto, ln 1.000 = 6,9.

Tomar el logaritmo natural de un número es la operación inversa a elevar e a ese número. Así,

ln ex = elnx

Por ejemplo, ln 7 = 1,95 (con una precisión de dos posiciones decimales). Por lo tanto, e1,95 = 7.

El logarimo natural de 2, aproximadamente igual a 0,7, tiene una propiedad interesante. Al dividir la tasa de interés de una cuenta bancaria por 0,7 se halla el número de años que tardará el dinero en esa cuenta en doblarse. Por ejemplo, si obtienes un interés del 5 por ciento (0,05) en una cuenta bancaria, tu dinero se doblará en aproximadamente 14 años (0,7 ÷ 0,05 = 14).

 











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