Los números primos: Teorémas, tamices y curiosidades



Un número primo es un número entero que sólo se puede dividir por uno y por sí mismo.

En otras palabras, un entero es un número primo si los enteros que lo dividen en un número exacto de veces, sin dejar resto, son sólo el uno y él mismo.

Un entero que no es un número primo se denomina número compuesto.

 

numeros primos
Números  

 

El tamiz de Eratóstenes

El tamiz de Eratóstenes es una rutina para compilar una tabla de números primos descubierta por el matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C. Ésta permite hallar todos los números primos menores que un número dado N.

 

Primero, escribimos todos los números menores que N (excepto 1). Por ejemplo, si suponemos que queremos hallar todos los números primos menores que 49, escribimos los números del 2 al 48.

Tomamos entonces el primer número primo, que es 2, y tachamos todos sus múltiplos. En otras palabras, tachamos uno de cada dos números, empezando con 2 × 2 = 4. En nuestro ejemplo, ello nos deja con el conjunto de números representados en el diagrama

 

 

A continuación, tachamos todos los múltiplos del siguiente número primo, 3, que permanece en la tabla, empezando con 3 × 3 = 9. Ello nos deja los números mostrados en el diagrama 2.

 

Seguimos este proceso, borrando todos los múltiplos de los siguientes números primos, hasta llegar al último número primo antes de √N. En nuestro ejemplo, N = 49, o sea √N = 7.

Por ello el último número primo para el que es necesario tachar los múltiplos es 5

 

Los números que han permanecido sin tachar son todos los números primos menores de 49, como se muestra:

 

Podemos utilizar este método para encontrar todos los números primos menores de 100:

 

 

El teorema fundamental de aritmética

El teorema fundamental de la aritmética afirma que cualquier número compuesto se puede escribir como un producto de números primos, llamados factores primos, de una y sólo una manera (siempre que el orden de los factores no se tome en cuenta).

Por ejemplo, 385 = 5 × 7 × 11, pero no es igual al producto de ningún otro conjunto de números primos.

Algunos de los factores primos pueden ser factores repetidos. Por ejemplo,

75.900 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 11 × 23

tiene dos factores repetidos, el 2 y el 5.

Este teorema significa que los números primos pueden ser contemplados como las piezas de construcción para los enteros.

Puede parecer razonable pensar, entonces, que debería haber algún tipo de modelo que determinara qué números son primos. Sin embargo, tal modelo no existe.

 

 

¿Cuántos números primos hay?

Si miramos los enteros pequeños, parece que los números primos son muy comunes.

Por ejemplo, la mitad de los números de 2 al 11 son primos, el 2, 3, 5, 7 y 11.

Tres de los siguientes diez números, del 12 al 21, son primos (13, 17, y 19), una proporción del 30 por ciento.




De los primeros cien enteros, el 16,8 por ciento son números primos, mientras que, en el primer millón de enteros, el 7,85 por ciento son primos.

Por ello parece razonable suponer que los números primos son menos frecuentes cuando mayores son los números.

El teorema de los números primos nos dice cuántos números primos es probable que haya menores o iguales que un cierto valor n.

El teorema afirma que la proporción de enteros positivos menores que o iguales a n que son números primos tiende a 1/lm n cuando n aumenta (donde lm n es el logaritmo natural de n).

A pesar de este descenso en frecuencia se cree (pero nunca se ha probado) que hay un número ilimitado de primos gemelos (pares de primos que sólo difieren en 2 unidades).

El par más grande conocido de este tipo es 242.206.083 × 238.880 + 1 y 242.206.083 × 238.880 – 1 (cada uno con 11.713 cifras).

Este par de primos gemelos fue descubierto en noviembre de 1995 por Indlekofer y Ja’rai.

 

Infinitos números primos

Hay un número infinito de números primos. Esto se puede demostrar estableciendo que no hay ningún número primo que sea el mayor.

Primeramente, supongamos que pn sea el mayor número primo, y que p1, p2, …, pn-1 son todos los números primos menores que pn. En otras palabras, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, etc.

A continuación, consideremos el número N formado al multiplicar todos los números primos hasta pn entre sí y añadiendo 1. En otras palabras,

N = p1 × p2 × … × pn + 1

Podemos ver que el número p1 × p2 × … × pn puede ser dividido exactamente por cualquiera de los números primos de p1 a pn.

Por ello, si intentamos dividir el número N = p1 × p2 × … × pn + 1 por cualquiera de los números de p1 a pn, siempre tendremos un resto de 1 (el 1 que hemos añadido al producto).

Esto significa que N o bien es un número primo él mismo, o bien es divisible por un número primo diferente (éste debe ser mayor que pn, ya que todos los primos menores no pueden dividir N de forma exacta).

En cualquier caso, hemos demostrado que existe un número primo mayor que pn, lo que contradice nuestro supuesto original que pn es el mayor número primo.

Por tanto, debemos concluir diciendo que hay un número infinito de números primos.

 

Números de Mersenne

Los primeros intentos de hallar un modelo de la distribución de los primos, se concentraron en hallar una fórmula algebraica que diera como resultado siempre un número primo.

Marin Mersenne, un monje francés del siglo XVII, investigó los números de la forma

Mp = 2p – 1

donde p es un número primo.

Los números de esta forma se denominaron posteriormente números de Mersenne.

Él afirmó que estos números serían primos si p fuera 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 o 257, y números compuestos para todos los otros valores de p menores de 257.

No fue posible comprobar esto hasta 1947 cuando las calculadoras estuvieron disponibles. A pesar de cometer algunos errores, Mersenne fue en general muy exacto.

 

Los números primos mayores

Los números de Mersenne proporcionan una manera de producir algunos números primos espectacularmente grandes, tales como 2132.049 – 1 (39.751 cifras), 2216.091 – 1 (65.050 cifras), y 2756.839 – 1 (227.832 cifras).

De hecho, el número más grande que se ha demostrado que es primo (por Slowinski y Gage en enero de 1994) es un número de Mersenne. Éste es el número 2859.433 – 1 , que tiene 258.716 cifras.

 

Teoremas famosos con números primos

Dos teoremas famosos que involucran números primos son:

  1. El teorema de Fermat, que dice que si p es primo y a es un entero positivo, entonces p es un divisor de apa;
  2. El teorema de Wilson, demostrado por Joseph Louis Lagrange, por el que p es primo si y sólo si p es un divisor de (p – 1)! + 1.

 

 











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